Hogyan kell megoldani az alábbi egyenletet ?

Első lépés, hogy kikötöd, hogy x ≠ 0, hiszen akkor a 4/x értelmezhetetlen lenne.

Aztán rendezed nullára, és "eltünteted" a nevezőket beszorzással. Ekkor kapsz egy másodfokú egyenlőtlenséget:

x² - 4x - 12 < 0

Ennek a baloldalát szorzattá kell alakítani: vagy a megoldóképlettel megkeresed a két gyökét és felírod azokkal szorzatként; vagy némi tapasztalattal "ránézésre" rájössz a két gyökére (pontosabban azok ellentettjére, de ez itt most lényegtelen): Melyik az a két szám, melyek összege -4, szorzata -12? A válasz: -6 és 2. Tehát szorzattá alakítva:

(x - 6)(x + 2) < 0

Egy szorzat akkor lehet < 0, azaz negatív, ha az egyik tényezője negatív, a másik meg pozitív. Ez kétféleképpen lehetséges:

I. Ha x - 6 < 0 és x + 2 > 0, akkor x < 6 és x > -2, azaz -2 < x < 6.

II. Ha x - 6 > 0 és x + 2 < 0, akkor x > 6 és x < -2, ami egyszerre nyilván nem teljesülhet.

A feladat megoldása tehát az I. eset és a kezdeti kikötés alapján:

x ∈ ]-2;0[ ∪ ]0;6[

2-es, ezzel a fajta megoldással csak annyi a probléma, hogy x értéke lehet NEGATÍV is, ha pedig negatív számmal szorzol/osztol, akkor a relációs jelnek meg kellene fordulnia. Például a (-1) nem is megoldása az egyenlőtlenségnek, pedig számításaid szerint igen. Ez azért van, mert azzal az extra kikötéssel nem számoltál, hogy ha x pozitív, akkor az a levezetés, amit leírtál.

Lehet egyébként így is csinálni, csak külön oda kell figyelni; tehát ha x>0, akkor a fenti levezetés tökéletes, annyit leszámítva, hogy a megoldáshalmaz a ]0;6[ intervallum lesz.

Ha x<0, akkor itt most csak annyi változik, hogy megfordul a reláció: (x-6)*(x+2)>0, és ezt ugyanúgy meg lehet oldani, mint ahogyan az 1-es tette.

Ez még egy egyszerűbb feladat volt, ezért könnyen el lehet bohóckodni az esetszétválasztással. Bonyolultabb egyenleteket úgy szoktunk megoldani, hogy közös nevezőre hozunk, egy törtet csinálunk az egyik oldslon, a másikon pedig 0 kell, hogy legyen. Esetünkben ezt kapjuk a kpzös nevezőre hozás, összesvonás és 0-ra redukálás után:

x/3- 4/x < 4/3

(x^2 - 4x - 12)/(3x) < 0

Ahogyan az előbb tette a 2-es, a számlálót szorzattá alakítjuk:

(x+2)*(x-6)/(3x) < 0

Így gyakorlatilag csak az a kérdés, hogy a tört értéke mikor lesz negatív. Tört értéke akkor negatív, hogyha a számláló és a nevező előjele eltér, szorzat esetén ugyanez a helyzet.

Az ránézésre látható, hogy az (x+2), az (x-6) és a (3x) hol vált előjelet és honnan hová. Mindegyik kezdetben negatív, aztán egy helyen 0 lesz, onnantól kezdve pozitív. Azt kell megnéznünk, hogy hol lesznek az értékek 0-k, ez a három hely az x=-2, az x=0 és az x=6, ezek határozzák meg a vizsgálandó intervallumokat, tehát a ]-végtelen;-2[, a ]-2;0[, a ]0;6[ és a ]6;végtelen[ intervallumok az érdekesek. Be lehet írni a táblázatba az x=-2, az=0 és az x=6 eseteket is, de most egyenlőség úgy sincs, így ezzel annyira nem kell foglalkoznunk.

A táblázatot aszerint töltjük ki, hogy melyik kifejezésnek mi az előjele. A kifejezések sorrendje: (x+2), (3x) és (x-6)

Ha most a ]-végtelen;-2[ intervallumot nézzük, akkor azt látjuk, hogy mindegyikük előjele negatív, tehát - - -, ezek szorzata/hányadosa negatívra jön ki, tehát az egyenlőtlenség egyik megoldáshalmaza a ]-végtelen;2[ intervallum.

Innen megpróbálod befejezni?