Ezeket hogy kell megcsinalni? Adja meg az alábbi függvények lehető legbővebb értelmezési tartományát! 1; f(x)=√cos(x) 2; f(x)=√log2x

Ha csak a valós számok halmazán nézzük (tehát komplex szám nem lehet), akkor:

1. A négyzetgyök milyen valós számokra értelmezhető?

Írd fel, hogy a cos(x) milyen x-ekre ad ilyen számot.

Ez lesz az értelmezési tartomány.

2. Ugyanúgy, mint az egyesnél, de itt arra is figyelj, hogy a logaritmus milyen x-ekre van értelmezve.

A gyök jelet hogy csináltad? Mi a megfelelője a szövegben?

Próba:

√

√

√

Értelmezési tartomány: olyan halmaz (többnyire számhalmaz), amelynek elemein elvégezhető minden művelet. Ha a valós->valós leképezésen maradunk (tehát x helyére csak valós szám írható, és az eredmény is csak valós lehet), akkor azt a számhalmazt keressük, amelynek elemein minden művelet elvégezhető.

A második esetben kétféle művelet van; először veszed az x helyére beírt szám 2-es alapú logaritmusát, majd az eredményből gyököt vonsz. Például az x=16 esetén:

√log2(16) = √4 = 2, itt tehát minden művelet elvégezhető volt, és az eredmény is valós, tehát a 16 szám része a keresett számhalmaznak.

Most írjuk be x helyére az 1/2=0,5-et;

√log2(0,5) = √(-1), itt a gyökvonás műveletét nem tudjuk elvégezni. Tehát x helyére nem írható 1/2 úgy, hogy értelmes eredményt kaphatnánk, tehát az 1/2 nem eleme a keresett halmaznak.

Most nézzük például x helyére a (-1) számot;

√log2(-1), itt már a logaritmust sem tudjuk elvégezni, tehát a (-1) sem lehet a kifejezés értelmezési tartományának eleme.

Nyilván végtelen sok számot nehéz lenne egyesével összeszedni, ezért a fenti függvények tulajdonságaiból kell kiindulnunk; azt tudjuk, hogy csak pozitív szám logaritmusát tudjuk venni, valamint csak nemnegatív számból lehet négyzetgyököt vonni. Ezeket a feltételeket fel tudjuk írni egyenlőtlenségként, amiket -jó eséllyel- meg tudunk oldani;

-csak pozitív szám logaritmusát tudjuk venni: x>0

-csak nemnegatív számból tudunk négyzetgyököt vonni: log2x>=0, ennek megoldása x>=1.

Nyilván a két kapott egyenlőtlenségnek egyszerre kell teljesülnie, és ez az x>=1 esetén történik meg, tehát a √log2x kifejezés értelmezési tartománya az x>=1 számhalmaz, ami azt jelenti, hogy ezekből a számokból válogthatunk x helyére úgy, hogy minden művelet elvégezhető legyen.

1. Azt kell megoldanod, hogy cos(x)>=0. Erről azt tudjuk, hogy (-90°)-nál és 90°-nál veszi fel a 0-t, a kettő közötti szögek koszinusza pozitív, tehát

-90° <= x <= 90°.

Természetesen másmilyen két számmal is felírható az egyenlőtlenség, például 270 és 450 között, ha esetleg a negatív szögeket annyira nem szeretjük;

270° <= x <= 450°

Akárhogy is, azt tudjuk, hogy a cos(x) függvény periodikus, periódusa pedig 360°, tehát 360°-onként ugyanazokat az értékeket veszi fel ugyanabban a sorrendben, tehát:

-90° + k*360° <= x <= 90° + k*360°, ahol k értéke tetszőleges egész szám. Például ha k=1, akkor pont a másodiknak felírt egyenlőtlenséget kapjuk, ezért volt mindegy, hogy milyen kezdőértékek közé írjuk fel az x-et, mivel a +k*360° garantálja azt, hogy az összes megfelelő számot megkapjuk.

Általában azonban ezeket a függvényeket a valós számok halmazán értélmezzük, a szögek valós számalakja a radián. A radiánról azt kell tudnunk, hogy pi=180° (a pi ugyanaz a pi, amit a kör kerületénél/területénél megszokhattunk), ennek megfelelően;

-pi/2 + k*2pi <= x <= pi/2 + k*2pi, ahol k tetszőleges egész szám. Ennek az egyenlőtlenségnek az összes megoldása által alkotott halmaz lesz az f(x)=√cos(x) függvény értemezési tartománya (ha az alaphalmaz a valós számok halmaza, de mivel ezzel kapcsolatban nem írtak semmit, ezért az alaphalmaznak -szokás szerint- a valós számok halmazát vesszük).