Hogyan lehet helyesen elmélyíteni tudásilag a szükséges, elégséges feltételt matematikából?

Sorbarendezés (permutáció): amikor az összes adott elemet egymás mellé kell valahogy pakolnod. Tipikus példa, hogy hányféleképpen tudod a MATEMATIKA szó betűit egymás mellé írni (10!/(2!*3!*2!). Ebben az esetben ismétléses permutációról van szó, mert vannak azonos elemek. Ismétlés nélküli esetben minden elem különböző, például 10 gyereket hányféleképpen tudsz egymás mellé állítani (10!).

Kiválasztás (kombináció vagy variáció): amikor egy csoportból veszel ki elemeket (akár az összeset vagy egyet sem). (Ismétléses) Variáció esetén akár egy elemet többször is kiválaszthatsz, viszont a kiválasztás sorrendje számít, ettől annyiban különbözik a kombináció, hogy a sorrend nem számít. Tipikus példák:

Ismétléses variációra: 3 sávos zászlót hányféleképpen tudsz kiszínezni 5 szín felhasználásával (5*5*5=5^3)

Ismétlés nélküli variációra: futóversenyen 10-en vesznek részt, hányféleképpen alakulhat az első 3 hely sorsa (10*9*8)

Ismétlés nélküli kombinációrí: 10 emberből hányféleképpen alakítható ki egy 3 fős csapat, ahol mindenki egyenrangú ( (10 alatt a 3) )

Ismétléses kombinációra: 10-féle ízű fagylaltból hányféle 3 gombócos rendelés adható le egy kehelybe (a tölcsérben meghatározott lenne a gombócok sorrendje, a kehelyben egymás mellé teszik a gombócokat, így mi döntjük el a rendelés után, hogy milyen sorrendben akarjuk megenni őket) ( (12 alatt a 3) ).

Skatulyaelv: itt nem történik más, mint bizonyos megközelítésben dobozokat (skatulyákat) képzünk, majd megmutatjuk, hogy akármit csinálunk, biztosan lesz olyan skatulya, amelyikben legalább valamilyen elem lesz. A skatulyaelv alapvetően egy indirekt bizonyítási fajta, vagyis azt mutatjuk meg, hogy az eredeti állítás tagadása nem teljesülhet. Például:

Mutassuk meg, hogy akárhogyan választunk ki 9 egész számot, azok között biztosan lesz legalább 5 páros vagy legalább 5 páratlan!

Indirekt bizonyítás: tegyük fel, hogy az állítás nem igaz. Az állítás tagadása az, hogy legfeljebb 4 páros és legfeljebb 4 páratlan szám lehet. Viszont így legfeljebb 8 szám kerülhet kiválasztásra, pedig 9 szám kerül kiválasztásra, ez az ellentmondás. Tehát az indirekt állítás hamis, így az eredeti az igaz.

Szükséges (de nem elégséges) feltétel: olyan feltétel, amelynek mindenképp teljesülnie kell, de önmagában még kevés a boldogsághoz. Például:

Ha egy szám osztható 100-zal, akkor 0-ra végződik. Ez minden körülmények között igaz. Nézzük a megfordítását: ha egy szám 0-ra végződik, akkor osztható 100-zal. Ez sajnos nem igaz, mert például a 140 ugyan 0-ra végződik, mégsem osztható 100-zal (kizáró ellenpélda). Ebből adódóan a "ha egy szám 0-ra végződik, akkor osztható 100-zal." feltétel egy szükséges, de nem elégséges feltétel.

Elégséges (de nem szükséges) fetétel: olyan feltétel, amelynek teljesülése esetén az állítás igaz lesz, de ezen kívül is vannak a feltételnek megfelelő esetek. Úgy is mondhatjuk, hogy a lehetőségek körét szűkíti. Például:

Ha egy szám 6-ra végződik, akkor osztható 2-vel. Ez minden további nékül igaz. Viszont fordítva: ha egy szám osztható 2-vel, akkor 6-ra végződik. Ez az állítás a klasszikus értelemben nem igaz (lévén mondható ellenpélda, mondjuk a 18, ami egy megengedő ellenpélda), viszont a 6-ra végződő számok mind igazzá teszik az állítást, ezért ez egy elégséges, de nem szükséges feltétel.

Szükséges és elégséges feltétel: röviden annyi, hogy az állítás megfordítása is mindig igaz lesz. Például:

Ha egy szám osztható 3-mal, akkor számjegyeinek összege osztható 3-mal.

Megfordítva: ha egy számban a számjegyek összege osztható 3-mal, akkor maga a szám is osztható 3-mal. Most a második esetben sem kizáró, sem megengedő ellenpélda nem adható, emiatt ez egy szükséges és elégséges feltétel.

Még annyit, hogy ha egy állításban "AKKOR ÉS CSAK AKKOR" szerepel, akkor az mindenképp szükséges és elégséges feltétel, viszont ennek kirakása nem kötelező. Például a Pitagorasz-tétel:

Ha az a<=b<c oldalú háromszög derékszögű, akkor oldalaira az a^2+b^2=c^2 egyenlőség teljesül.

Megfordítva: Ha az a<=b<c oldalú háromszögre teljesül az a^2+b^2=c^2 egyenlőség, akkor a háromszög derékszögű.

Itt is igaz az, hogy mindkét állítás mindig igaz, tehát szükséges és elégséges feltételről van szó. Ez megfogalmazva úgy, hogy egyértelműen kiderüljön, hogy a feltétel szükséges és elégséges:

Ha az a<=b<c oldalú háromszög derékszögű, AKKOR ÉS CSAK AKKOR oldalaira az a^2+b^2=c^2 egyenlőség teljesül.

Természetesen fordítva is fel lehet írni;

Ha az a<=b<c oldalú háromszögre teljesül az a^2+b^2=c^2 egyenlőség, AKKOR ÉS CSAK AKKOR a háromszög derékszögű.