Van-e olyan (nem állandó) számtani sorozat, amelynek minden eleme négyzetszám?

Nem tudom, hogy ez lesz-e az, de hátha ilyenre gondolsz

a0 = 1

a1 = 4 (d = 3)

a2 = 9 (d = 5)

a3 = 16 (d = 7)

a4 = 25 (d = 9)

a5 = 36 (d = 11)

Legyen a számtani sorozat első három tagja a^2, (a+k)^2, (a+m)^2, ahol 0<k<m

A számtani sorozatról tudjuk, hogy tetszőleges tagjától kiválasztva a sorozat egyik tagját, akkor ahhoz a taghoz szimmetrikusan álló tagok átlaga (számtani közepe) maga a kiválasztott tag, tehát

(a^2 + (a+m)^2)/2 = (a+k)^2, bontsuk ki a zárójeleket és szorozzunk 2-vel:

a^2 + a^2 + 2am + m^2 = 2*a^2 + 4ak + 2k^2, le tudunk vonni 2*a^2-et:

2am + m^2 = 4ak + 2k^2, vonjunk ki 2am-et és emejlünk ki 2-t:

m^2 = 2*(2ak + k^2 - am)

A jobb oldal biztosan osztható 2-vel, így a bal oldalnak is oszthatónak kell lennie. Viszont akkor a bal oldal 4-gyel osztható, így a jobb oldalnak is oszthatónak kell lennie 4-gyel, vagyis a 2ak+k^2-am tényezőnek oszthatónak kell lennie 2-vel. Mivel m-nek párosnak kell lennie, ezért a 2ak+k^2-am csak úgy tud páros lenni, hogyha k is páros.

Tehát az a^2, (a+k)^2, (a+m)^2 sorozat három páros számból áll, illetve 4-gyel osztható számokból. Most megtehetjük azt, mivel mindegyik tag osztható 4-gyel, hogy mindegyik tagot elosztjuk 4-gyel, ezért osszuk is el mindegyik tagot. Értelemszerűen a 4-gyel való osztással a sorozat különbsége is osztódik, de a tagok közti különbség ugyanaz marad (például ha a sorozat 4;8;12 lenne, akkor d=4, viszont 4-gyel osztva az 1,2,3 sorozatot kapnánk, ahol d=1, tehát a sorozat számtani marad az osztással). Ezzel az

a^2/4, (a+k)^2/4, (a+l)^2/4 sorozatot kapnánk, ami átalakítható:

(a/2)^2, ((a+k)/2)^2, ((a+l)/2)^2, végezzük el az osztásokat (mivel mindenki páros, ezért elvégezhető)

(a/2)^2, (a/2 + k/2)^2, (a/2 + l/2)^2

Most a jobb áttekinthetőség kedvéért vezessünk be másik betűket; a/2=t, k/2=u, l/2=v, ekkor a sorozat tagjai így néznek ki:

t^2, (t+u)^2, (t+v)^2

És ez a sorozat ugyanolyan alakú, mint az eredeti, tehát ha ugyanazt végigcsinálnánk, akkor azt kapnánk, hogy mindegyik betű osztható 2-vel, így a sorozat mindegyik tagja osztható 4-gyel, és persze végül ugyanazt az alakú sorozatot kapjuk. Ebből az következik, hogy a sorozat minden tagja VÉGTELENSZER kell, hogy osztható legyen 4-gyel, ami nyilván nem tud működni. Tehát nincs olyan (legalább 3 tagból álló) számtani sorozat, ami egymás után négyzetszámokat tartalmazna.