Lineáris transzformáció?

Ehhez a sajátérték és a sajátvektor fogalmával kell tisztában lenni. Az origóból kiinduló sajátvektorra fektetett egyenesen lévő pontokat a transzformáció az egyenesen hagyja, legfeljebb a mentén mozgatja el, azaz csak kicsinyíti vagy nagyítja a helyvektort. Ez a nagyítási érték (szorzó) pedig épp az adott sajátvektorhoz tartozó sajátérték.

Az említett két vektor tehát a transzformáció egy-egy sajátvektora, melyek sajátértéke 2 ill. 3.

Az alapvető összefüggés: Av = λv, ahol A a transzformációs mátrix, v egy sajátvektor, λ pedig az ahhoz tartozó sajátérték. Ezt felírod mindkét megadott sajátvektorra, és megoldod az egyenletrendszert.

A = [x z, y w]

v1 = (1, 2), λ1 = 2

A * v1 = λ1 * v1

[x z, y w] * (1, 2) = 2 * (1, 2)

(x + 2z, y + 2w) = (2, 4) -- itt mindkét oldalon vektor van már!

Ebből adódik, hogy x + 2z = 2, y + 2w = 4

v2 = (1, 3), λ2 = 3

A * v2 = λ2 * v2

[x z, y w] * (1, 3) = 3 * (1, 3)

(x + 3z, y + 3w) = (3, 9) -- itt mindkét oldalon vektor van már!

Ebből adódik, hogy x + 3z = 3, y + 3w = 9

Ebből két egyenletrendszer írható fel:

1) x + 2z = 2 és x + 3z = 3 -> ebből kivonással z = 1

2) y + 2w = 4 és y + 3w = 9 -> ebből kivonással w = 5

Visszahelyettesítve: x = 0, és y = –6 adódik.

A mátrix tehát: A = [0 1, –6 5]