Benne fekszenek-e a vektorok az altérben?

Ha jól értem, akkor most az a;b;c vektorok a bázisaid (azok szerint lehet "lépkedni"). Ha szerencséd van, akkor ez szemmel si látható, hogy melyikből menniyt kell választani.

Ha nincs szerencséd, akkor a definícióhóz kell nyúlni; ha léteznek olyan r;s;t skalárok (számok), amikre

u = r*a+s*b+t*c, akkor az u vektor benne van ebben az altérben, ha pedig nincs, akkor nem. Esetünkben:

(5, 10, 3) = r*(3, -1, 4) + s*(1, -2, 2) + t*(11, 3, 12), elvégezzük a beszorzásokat:

(5, 10, 3) = (3r, -r, 4r) + (s, -2s, 2s) + (11t, 3t, 12t), ezuután összeadjuk a vektorokat:

(5, 10, 3) = (3r+s+11t, -r-2s+3t, 4r+2s+12t)

Két vektor akkor és csak akkor egyenlő, hogyha irányuk és hosszuk megegyezik. Esetünkben ez úgy tud megnyilvánulni, hogyha az azonos helyen álló koordináták megegyeznek, vagyis

5 = 3r+s+11t

10 = -r-2s+3t

3 = 4r+2s+12t

Mivel ezeknek egyszerre kell teljesülniük, ezért ezek egyenletrendszert alkotnak, amit vígan meg lehet oldani. Én ezt most megspórolom, szenvedj vele:

[link]

Nincsen neki megoldása, így az u nincs benne az altéren.

Ugyanez a v vektorral (szerencsére csak az u koordinátáit kell lecserélni a bal oldalon):

7 = 3r+s+11t

1 = -r-2s+3t

7 = 4r+2s+12t :

[link]

Ennek sincs megoldása, szóval ez sincs benne.

De vegyünk egy olyan példát is, amikor megoldás lenne; vegyünk az a-ból 3-at, a b-ből (-2)-t, a c-ből 1-et, ekkor a

3*(3, -1, 4) + (-2)*(1, -2, 2) + 1*(11, 3, 12) = (9, -3, 12) + (-2, 4, -4) + (11, 3, 12) = (18, 4, 20)

Tehát az lenne a kérdés, hogy a (18, 4, 20) vektor benne van-e az altérben, akkor ugyanazt végig kellene zongorázni:

18 = 3r+s+11t

4 = -r-2s+3t

20 = 4r+2s+12t :

[link]

Itt most végtelen sok megoldást kaptunk, viszont ha n helyére 0-t írunk, akkor az r=3, s=(-2) és t=1 megoldásokat kapjuk, vagyis pont azokat az értékeket, amikkel az elején kiszámoltam a vektort. Ez a gyakorlatban pont azt jelenti, amit írtam korábban; ahhoz, hogy a vektor megalkossuk, szükségünk van arra, hogy 3-szor lépjünk az a vektor szerint, (-2)-szer a b vektor szerint és 1-szer a c vektor szerint.

Ezt a sok zagyvaságot.

Először megnézed, hogy a,b,c függetlenek-e, az együtthatóikból alkotott mátrixnak nullától különböző-e a determinánsa, tudsz-e egységmátrixot kapni Gauss-eliminálással. Ha sikerül, akkor a,b,c a teljes teret kifeszítik, u és v bennük van. Ha nem sikerül, akkor egy síkba esik a három vektor, ami közülük már 2 kifeszít, mondjuk a és b (amik látványosan nem esnek egy egyenesbe).

Aztán megnézed, hogy az u vektor beleesik-e az a,b által kifeszített síkba, azaz, hogy a,b,u függő-e, azaz hogy a mátrixuk determinánsa 0-e/lehet-e diagonális mátrixszá Gauss-eliminálni. Aztán v-re.

Baromira tudnám díjazni, hogyha a leszólások mellé valami konstruktívat is hozzátennél...

Szeretném tudni, hogy mitől „zagyvaság” az, amit én írtam...