Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 9?

Olyat nem is csinálhatsz, hogy 6666, mert nem 9 a számjegyek összege.

Ha magában a négyjegyű számban ismétlődés megengedett (tehát nem csak különféle számjegyek lehetnek), akkor ezt az ismétléses kombináció képletével lehet könnyedén meghatározni. A megoldás:

(11 alatt a 3) = 165.

Ha magukban a számokban csak különböző szájegyek lehetnek, akkor már nem ennyire könnyű számolni.

9 db golyót 4 urnába elosztani úgy, hogy az elsőbe 1 vagy több jusson. A számjegy az urnába tett golyók száma. A 4 számjegy alkotta sorozat a négyjegyű szám.

Ki kell választani, hogy hanyadik (1, 2, 3 ,...?) elem után rakod le az első elválasztást, aztán a 2. elválasztást, stb. Az első urnába annyi esik, mint amennyi az első elválasztóig jut. A 2. urnába annyi, amennyi az 1. és a 2. között van (0, 1, 2, ...). És így tovább. Tkp. azt választod ki, hogy melyik elválasztó hanyadik golyó után essen: n alatt m.

A feladatban ez (9 alatt 4) = 126.

Egyrészt azt, hogy 3 elválasztó van, és nem 4.

Másrészt azt, hogy például a 3014 számban két elválasztót kellene egymás mellé tenned, és ez önmagában borítja a modelledet.

Azon négyjegyű pozitív egész számok számát keressük, melyekben a számjegyek összege 9. Az ilyen számok megfeleltethetők 9 db "o"-ból és 3 db "|"-ból álló karaktersorozatokkal, ahol a négyjegyű szám

első számjegye az első "|" előtt lévő "o"-k száma,

második számjegye az első és második "|" között lévő "o"-k száma,

harmadik számjegye a második és harmadik "|" között lévő "o"-k száma,

negyedik számjegye pedig a harmadik "|" után lévő "o"-k száma.

Pl. a oo|ooo||oooo karaktersorozat a 2304 négyjegyű számnak felel meg.

Viszont az első számjegy nem lehet 0, ezért a karaktersorozat első karaktere csak "o" lehet.

Az ilyen karaktersorozatok (tehát amelyek 9 db "o"-ból és 3 db "|"-ból állnak és az első karakter "o") mindegyike megfeleltethető egy olyan négyjegyű számnak, melyben a számjegyek összege 9, illetve ugyanez igaz fordítva is. Tehát az ilyen karaktersorozatok száma megegyezik azon négyjegyű számok számával, melyekben a számjegyek összege 9.

Az ilyen karaktersorozatok száma pedig 11 alatt a 3, azaz 165, ahogy a kérdező is kiszámolta, hiszen az első karakter fixen "o", míg a maradék 8 db "o"-t és 3 db "|"-t 11 alatt a 3 féleképpen tudjuk sorbarendezni.