A k kerületű téglalapok közül melyik a legkisebb illetve a legnagyobb területű?

Nyugodtan lehet egységkerületűként tekinteni rá, vagyis a téglalap kerülete 1.

Ha a téglalap két merőleges oldala a és b, akkor 1=2(a+b), vagyis b=0,5-a, így a területe a*(0,5-a), ami egy másodfokú kifejezés, amit ha ábrázolnánk, akkor egy parabolát kapnánk. Egy rakat módon meg lehet határozni ennek a szélsőértékét, de most a legegyszerűbb az, hogy látjuk, hogy a=0 és a=0,5 esetén a kifejezés értéke 0. Tudjuk azt, hogy a szélsőérték helye szimmetriaokokból ezektől egyenlő távolságra van, vagyis a=0,25-nál lesz.

Tehát a=0,25, b=0,5-0,25=0,25, tehát valóban egy négyzetet kapunk.

Ha ragaszkodsz a k kerülethez, akkor ugyanezekkel a lépésekkel kijön, hogy a=0,25*k és b=0,25*k, tehát szintén négyzet lesz, a területe pedig 0,0625*k^2.

Minimuma pedig nincs; akkor lehetne, hogyha a terület lehetne 0, de akkor a téglalap egyik oldala 0 lenne, ami úgy már nem téglalap, viszont bármilyen kicsi lehet a terület.

g=2a+2b-k

f=ab -> max, min

Ez a megoldandó... A megoldása pedig az, amit már írtak is...

T=a*b, K=2*(a+b).

A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség alkalmazásával is megy:

K/4=(a+b)/2>=sqrt(a*b)=sqrt(T) => T<=K^2/16

Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha a=b.