Adott kerületű téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a kerülete?

A négyzet területe a legnagyobb az adott kerületű téglalapok közül.

Ez egy függvény-szélsőérték feladat.

Deriválással be lehet bizonyítani (lehet máshogyan is, de hama-hama nem tudok jobbat).

Még parasztosan is belátható. A kör a legkisebb kerülettel legnagyobb területet befogó idom.

Így átfogalmazható a feladat: Melyik téglalap hasonlít legjobban a körhöz? Természetesen a négyzet. :)

Adott kerület: K.

Az egy-egy oldal: a és b.

Ekkor valamilyen x-re a=K/4+x, b=K/4-x.

Ezzel a trükkös helyettesítéssel a téglalap területe:

a*b = (K/4 + x)*(K/4 - x) = K^2/16 - x^2.

Tehát akkor a legnagyobb a téglalap területe, ha x=0, vagyis a=b, a téglalap négyzet, ekkor a terület éppen K^2/16. Az is látszik, hogy ha fix kerület mellett minél nagyobb az eltérés az oldalak között, annál kisebb a terület.