Ezt hogyan bizonyithatom be? Egyszerűen nem értem hogy hogy vezessem le a feladatot?

Tehát először is, eleme a (-1+1)/2=0

Utána eleme a (-1+0)/2=-1/2 és a (0+1)/2=1/2

És ezt lehetne a végtelenségig folytatni. A probléma az, hogy előfordulhat, hogy az eredmények egy idő után ismétlődnek (bár a számtani középnek van egy olyan tulajdonsága, hogy az eredmény mindig a legkisebb és a legnagyobb szám közé esik, két szám esetén megy nyilván a két szám közé esik, tehát ha a<=b, akkor a<=(a+b)/2<=b, így ez kizárja).

Az egyszerűbb megoldás, hogy megpróbálsz egy függvényt adni, melynek minden értéke benne van az A halmazban, és végtelen sok értéket tartalmaz. Ilyen például az f(n)=1/2^n függvény (ami egyben sorozat) a nemnegatív egész számok halmazán. Ha ez megvan, akkor innen teljes indukcióval be lehet látni, hogy a sorozat (n+1)-edik eleme is benne van az A halmazban.

Megpróbálod?

Tehát felfedeztük, hogy az 1 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/8 ; ... számok benne vannak az A halmazban. Ezek 1/2^n alakúak. Azt kellene belátni, hogy tetszőleges nemnegatív egész n-re a halmaznak tagja az 1/2^n szám.

Bizonyítás teljes indukcióval; mint láthattuk, n=0-ra igaz. Tegyük fel, hogy az állításról tudjuk, hogy valamilyen k számig igaz, vagyis ha n helyére a 0,1,2,...,k egészeket írjuk, akkor az állítás igaz. Nézzük meg, hogy az 1/2^(k+1) is benne van-e a halmazban. A korábbi tagokat úgy képeztük, hogy a 0-nak és az 1/2^n alakú számnak vettük a számtani közepét, így nézzük meg, hogy mi a helyzet akkor, hogyha ugyanazt a lépést megtesszük:

(0 + 1/2^k)/2 = 1/2^k / 2 = azt tanultuk, hogy ha egész számmal osztunk, akkor a nevező is szorozható = 1/(2 * 2^k) = hatványozás azonossága = 1/2^(k+1), tehát az 1/2^(k+1) is a halmaz tagja, és ezt kellett belátni.

Mivel végtelen sok nemnegatív egész szám van, ami a 2 kitevőjébe írható, ezért biztosan végtelen sok eleme van a halmaznak. Persze ezeken kívül is vannak még számok, de ennyi elég ahhoz, hogy azt belássuk, hogy az A halmaznak végtelen sok eleme van.

Az első állítás igaz; ha az alaphalmaz R, vagyis U=R, akkor R komplementere üreshalmaz, az pedig definíció szerint minden halmaznak részhalmaza. Ha az alaphalmaz nem R, akkor már kicsit más a történet, de gondolom az alaphalmaz most mindig R.

A másodiknál, ha úgy érzed, hogy nem igaz, akkor a bizonyítás csak annyi, hogy mutatsz egy olyan számot, ami csak az egyikben van benne. Ilyen például az 1/2, ami Z komplementerében biztosan benne van, viszont Q komplementerében biztosan nincs benne, tehát máris találtunk egy ellenpéldát az állításra (amúgy meg az összes a/b alakú racionális szám jó ellenpéldának, ahol a;b egészek, de b értéke nem lehet 0 vagy 1, utóbbi esetben a tört értéke egész lenne, az meg nem jó).

Fordítva viszont igaz lenne, vagyis Z komplementerének a Q komplementere részhalmaza, elvégre Q komplementere az irracionális számokat tartalmazza, Z komplementere pedig az irracionálisakat ÉS a nemegész racionálisakat.