András azt állítja, hogy az összes pingponglabdájának száma 6-tal osztva 2 maradékot, 15-tel osztva pedig 1 maradékot ad. Hogyan bizonyíthatom be, hogy András állítása hamis?

Ha 6-tal osztva kettő maradékot ad, akkor 3-mal osztva is 2 maradékot kell, hogy adjon, erre kell felépíteni a gondolatmenetet.

6*x + 2 = 15*y + 1

6*x - 15*y = -1

3*(x-5*y) = -1

Látható, hogy a bal oldal osztható 3-mal, a -1 pedig nem, tehát András állítása hamis.

Ha 6-tal osztva 2 maradékot ad, akkor a labdák száma 6k+2 alakú, ahol k nemnegatív egész. Ha 15-tel oszva 1 maradékot ad, akkor 15*l+1 alakú, ahol l nemnegatív egész.

Nyilván ugyanaz a két szám, tehát ezek egyenlőek:

6k+2 = 15l+1, rendezés után

1 = 15l-6k

A jobb oldal biztosan osztható 3-mal, az 1 meg nem, tehát biztosan nem lesz olyan megoldása az egyenletnek, hogy k;l egyszerre nemnegatív egészek.

Például így.

Másik gondolatmenettel;

tegyük fel, hogy x labda van, ekkor az első feltétel szerint az x-2 osztható lesz 6-tal, az x-1 pedig 15-tel lesz osztható. Viszont ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 3-mal is, ugyanígy a 15-tel való oszthatóság esetén, tehát x-1 és x-2 is osztható 3-mal. Az x-1 és az x-2 számok szomszédosak (különbségük 1), így nyilván egyszerre nem lehet mindkettő osztható 3-mal, tehát a kiindulási adatok nem igazak.