Igaz-e, hogy az alábbi pontok halmaza egy parabola? Hogy bizonyítható? (ld. Leírásban)

Fel kell írnia magasságpont koordinátáit.

Legyen az alap az x tengelyen, egyik pontja az origó, másik pontja az x=1 pont. Legyen a magasság egységnyi, tehát húzunk egy y=1 egyenest, amelyen a háromszög harmadik csúcspontja mozog (lehetne az alap bármely szakasz, a csúcs a megfelelő párhuzamoson, ekkor csak számolás lenne bonyolultabb).

Ezután legyen a háromszög csúcspontja az y tengelytől z távolságra (-∞ < x < ∞). Ekkor koordinátageometriai számítással felírhatjuk a magasságpont koordinátáját, ahol az x és y értékei z-től függenek. Ha most a "z"-t mindkét koordinátával kifejezzük, akkor egy függvényt kapunk x és y között, ezt y-ra rendezve kapunk egy összefüggést. Amennyiben ez a*x^2+b*x+c alakú, akkor a magasságpont egy parabola mentén mozog.

Legyen a háromszöged alapja (0,0) és (1,0), magassága h, így a futó harmadik pont (a, h).

A futó ponton keresztül húzott magasságvonal egyenlete triviális x=a. Az (1,0) ponton keresztül húzott magasságvonal a (0,0) és (a,h) közti oldal egyenesére merőleges. Ennek az oldalnak a meredeksége h/a, így a rá merőleges magasságvonal meredeksége -a/h. Tehát a második magasságvonal y = -a/h * x + c alakú. Ennek a metszéspontja x=a-val y = -a/h * a + c = -a^2 / h + c alakú. Tehát igen, parabola lesz a futó magasságpont által leírt görbe, hiszen a görbe x koordinátái a, az y koordinátái pedig -a^2 szerint alakulnak.

A #4-essel én nem random dolgok guglizására akartalak biztatni, hanem hogy tényleg állj neki a sejtés alapján történő bizonyításnak. Ha parabola, akkor annak óhatatlanul:

- tengelye a szakaszfelező egyenes

- csúcspontja az egyenlő szárú eset magasságpontja

- paramétere az általad fixált magasság fele

Ezek definiálják a fókuszpontot és vezéregyenest, így elkezdheted vizsgálni, hogy egy tetszőleges futó magasságpont valóban egyenlő távolságra van-e tőlük. Itt már nem érdemes várni a csodát, ezt fel kell rajzolni és megkeresni azokat a szögeket, köröket, hasonlóságokat, amik ezt bizonyítják.

[link]

[link]

Itt láthatók általánosítások. Elemei megoldás ügyben csak annyit tudok, hogy "nagy erők" mozgósítódtak ez ügyben, de - egyelőre - nem sikerült olyat találni.

Azt fogom megmutatni, hogy ez a parabola az A-B egyenes X pontjainak az AB szakaszra vett "hatványát", vagyis az XA*XB szorzatot jeleníti meg. (+ konstans szorzó.) Nem tudom, hogy neked ez eleminek számít-e, nekem az egyik kedvenc eszközöm, síkbeli körökre nagyon gyakran úgy gondolok, mint térbeli paraboloidokra, és, egyenesbeli pontpárokra meg úgy, mint síkbeli parabolákra. Bizonyos értelemben a magasságpont szerkesztése ezt az értéket szerkeszti meg.

Az M magasságpont helyett az AB tengelyre vett tükörképét, M'-t tekintsük. Nyilván a pályájuk ugyanaz, csak tükrözve. M' a körülírt kör és a C-ből állított merőleges másik metszése (ez ismert).

Legyen X=T_C, a C pont vetülete az AB egyenesre. Ekkor a körülírt körre X hatványa:

: XM'*XC = XA*XB

ami alapján

: XM' = XA*XB/XC

ahol XC konstans. Vagyis M' helyzete éppen az XA*XB értéket mutatja meg (annak egy nyújtott képét).