Igaz-e, hogy az alábbi pontok halmaza egy parabola? Hogy bizonyítható? (ld. Leírásban)

Egy elborultabb megközelítés:

Állítás: Ha adott egy pontpár a síkon, és felveszünk rajtuk keresztül olyan egyenespárokat, amelyeknek a meredekségének az előjeles különbsége állandó, akkor, ezen párok metszéspontjainak a mértani helye egy függőleges tengelyű parabola. Illetve, ha a két pont egymás felett van, akkor egy egyenes.

A tétel visszafelé is igaz.

Meg lehet nézni geogebrában, ha rögzítesz egy parabolán A és B pontokat (nem feltétlenül ugyanolyan magasan), és futni hagysz egy C pontot a parabolán, akkor az AC és BC egyenesek meredekségének a különbsége állandó.

Az állítást nem bizonyítom, az amit én ismerek egy teljes nem-euklideszi geometriát épít ki hozzá az alapoktól, minden objektummal, tételekkel cakkumpakk.

Ebből azonnal adódik, hogy ha például A és B rögzített pontok a P parabolán és C a P parabolán fut, akkor ABC magasságpontjának a mértani helye egy, az eredeti P parabolára merőleges P' parabola/egyenes. (Nos, annak a részhalmaza, de ha P'-n fut M, és nézzük az ABM háromszög C magasságpontjának a mértani helyét akkor az a P parabolának lesz egy részhalmaza, így a mértani hely a teljes parabola.)

Az, hogy P pont nem egy, AB-n átmenő parabolán, hanem egy AB-vel párhuzamos egyenesen fut, egy nagyon elfajuló eset, de ugyanígy szépen kijön.

: Ha adott egy pontpár a síkon, és felveszünk rajtuk keresztül olyan egyenespárokat, amelyeknek a meredekségének az előjeles különbsége állandó, akkor, ezen párok metszéspontjainak a mértani helye egy függőleges tengelyű parabola. Illetve, ha a két pont egymás felett van, akkor egy egyenes.

Ha két egyenes meredekségének a különbségét nevezzük "szög"-nek, akkor ez a konstrukció a két rögzített ponthoz tartozó "látókört" rajzolja meg, ami egy függőleges parabola, vagy egy függőleges egyenes lesz.

Hasonló jellegű probléma:

az ábrán látható szerkesztés: [link]

megszerkeszti az (OX)^2-et a futó pont fölé, bizonyítsuk be, hogy a mértani hely egy parabola.