Rekurzív sorozat megoldása?

a2=1/a1+1=1/3+1=4/3

a3=1/a2+1=3/4+1=7/4

a4=1/a3+1=4/7+1=11/7

A sorozat első néhány tagja és határértéke:

[link]

A rekurzív sorozatnak pont az a lényege, hogy tagjait a korábbi tagok ismeretében tudjuk megadni. Tipikus példa a Fibonacci-sorozat;

F(1)=1

F(2)=1

F(n)=F(n-1)+F(n-2), ahol n>=3 egész. Ez azt jelenti, hogy a sorozat következő tagját úgy kapjuk, hogy az utolsó két ismert tagját összeadjuk. Esetünkben;

F(3)=F(2)+F(1)=1+1=2

F(4)=F(3)+F(2)=2+1=3

F(5)=F(4)+F(3)=3+2=5, és így tovább.

A te esetedben is ugyanaz a helyzet; a megfelelő tagokon kell elvégezni a műveletet, hogy a kérdéses tagot megkapjuk.

A rekurziós képlet alapján:

a(2) = (1/a(1))+1, itt az a(1) értéke definiáltan 3, tehát

a(2) = (1/3)+1 = 4/3

Ugyanezt folytatva:

a(3) = (1/a(2))+1, az a(2) értékét előbb határoztuk meg:

a(3) = (1/(4/3))+1 = (3/4)+1 = 7/4

A többit ugyanígy.

A rekurziós képlet előnye, hogy bármelyik tag könnyedén meghatározható, hátránya, hogy ha például a 100. tagot akarod kiszámítani, akkor az előtte álló 99. tagot is végig kell számolni. Ha van szerencsénk, akkor a rekurzív sorozat megadható zárt képletként is, ami többnyire csak a sorozat tagjának sorszámától függ. A Fibonacci-sorozat esetén ilyen a Binet-formula, de nem minden sorozat adható meg így. Jó kérdés, hogy a te sorozatod megadható-e ilyen alakban, arra most nem tudok válaszolni.

A tagok közönséges tört alakban:

3/1, 4/3, 7/4, 11/7, 18/11, 29/18, 47/29, ...

Van sejtés?

Ha már #3 a Fibonacci-sorozatot emlegette:

[link]