Elakadtam ebben a feladatban, ti hogyan oldanátok meg?

Azt kell tudni, hogy hatványozásnál a maradékok ismétlődni fognak. Szerencsére ez akkor is igaz, hogyha mindig hozzáadsz 1-et a számhoz.

Annyi a dolgod, hogy megvizsgálod 2^n és n 7-es maradékát, és megnézed a különbségeiket; ha lesz olyan, hogy ez a különbség 0 (mivel kivonás van), akkor van olyan szám, egyébként nincs.

2^n 7-es maradékai (n=0-tól kezdve): 1 2 4 1 2 4 1 2 4 ...

n 7-es maradékai: (n=0-tól kezdve): 0 1 2 3 4 5 6 0 1 ...

Mivel 2^n ciklusa 3, n ciklusa 7, ezért n=3*7=21-ig kell megnézned, utána a különbségek 21-es ciklusban fognak ismétlődni.

Tehát

1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

1 1 2 (-2) (-2) (-1) (-5) 2 3 (-1) (-1) 0 (-4) (-4) 4 0 0 1 (-3) (-3) (-2)

Hoppá! Három találat is van;

-n=11-re 2^11 - 11 = 2037, osztva 7-tel 291, ami jó

-n=15-re 2^15 - 15 = 32753, osztva 7-tel 4679, ami szintén jó

-n=16-ra 2^16 - 16 = 65520, osztva 7-tel 9360, ami szintén jó.

Mivel azt is megállapítottuk, hogy a maradékok különbségei 21-es ciklusban periodikusak, ezért minden n=11+21*k, n=15+21*k és n=16+21*k alakú szám jó lesz, ahol k nemnegatív egész.