Milyen alakzatot alkotnak azok a z pontok a komplex számsíkon, melyekre teljesül, hogy (z − i)i/(z − 1) negatív valós szám?

Osszuk el a kifejezést i-vel, ezzel kapjuk, hogy a (z-i)/(z-1) hányados az i-nek és egy pozitív valós számnak a szorzata (itt használtuk, hogy az i-nek a négyzete -1).

Koordinátarendszerben ábrázolva a feladatot (ahol az x-tengely a valós, y-tengely pedig a képzetes tengely), láthatjuk, hogy ez éppen azt fejezi ki, hogy a (z-i) vektort úgy kapjuk meg a (z-1) vektorból, hogy a (z-1)-et elforgatjuk pozitív irányba 90 fokkal (ez az i-vel való szorzás), majd egy pozitív számmal felnagyítjuk. Tehát a z számok mértani helyként annak a Thalész-körnek az egyik fele jön ki, aminek az átmérője az 1-et és az i-t összekötő szakasz (azért csak a fele, mert a forgatás után pozitív valós számmal szoroztunk).

Úgy értem, hogy ha valamilyen r pozitív valós számra teljesül, hogy

(z-i)i/(z-1) = -r, akkor innen i-vel való osztással az jön ki, hogy

(z-i)/(z-1) = r.

Bocs, elírtam, még egyszer:

ha valamilyen r pozitív valós számra teljesül, hogy

(z-i)i/(z-1) = -r, akkor innen i-vel való osztással az jön ki, hogy

(z-i)/(z-1) = ri, tehát egy pozitív valós szám i-szerese.

Minden ilyen feladatot érdemes úgy elkezdeni, hogy a z komplex számot felírjuk általános alakban, vagyis z=a+b*i, ahol a;b valós számok. Így a feladat:

(a+b*i − i)i/(a+b*i − 1) mikor lesz negatív valós. Először végezzük el a beszorzást:

(-b+a*i + 1)/(a+b*i - 1), rendezzük egy kicsit úgy őket, ahogy szoktuk:

(1-b + a*i)/(a-1 + b*i), ezt a törtet a (j+k)*(j-k)=j^2-k^2 méltán elhíresült azonosság alapján bővíteni fogjuk (a-1 - b*i)-vel. A bővítés nagy előnye, hogy a nevezőből kitakarodik az i, így csak valós lesz;

Számláló: (1-b + a*i)*(a-1 - b*i)=...=i*(a^2 - a + (b - 1)*b) + a + b - 1

Nevező: (a-1 + b*i)*(a-1 - b*i) = (a-1)^2-(b*i)^2 = (a-1)^2+b^2

Sokkal csúnyábbnak néz ki, de ez lesz a mi legjobb barátunk. Érthető okokból az (a-1)^2+b^2 értéke mindig pozitív lesz, (illetve z=1 esetén 0, szóval azt kizárjuk a buliból, mert akkor 0-val kellene osztani). Ez csak annyit jelent, hogy bármi is legyen a számláló, a nevezővel való osztás nem befolyásolja az eredmény előjelét, így ezzel nem is kell foglalkoznunk a továbbiakban.

Így tehát a kérdés csak az, hogy mikor lesz az

i*(a^2 - a + (b - 1)*b) + a + b - 1

rusnyaság negatív. Először is azt kell elérnünk, hogy egyáltalán valós legyen, ehhez az

a^2 - a + (b - 1)*b = 0

egyenletnek igaznak kell lennie. Ha emlékeink nem csalnak, akkor ez az egyenlet átalakítható olyan alakra, amit mi kör egyenletének szoktunk hívni;

a^2 - a + b^2 - b = 0

(a-1/2)^2 - 1/4 + (b-1/2)^2 - 1/4 = 0

(a-1/2)^2 + (b-1/2)^2 = 2/4 = 1/2

Tanulmányaink szerint ez egy kör, melynek középpontja a C(1/2;1/2) pont, sugara 1/gyök(2), vagy másként gyök(2)/2 nagyságú.

Most már a számunk valós. Már csak azt kell teljesítenünk, hogy negatív legyen, ehhez az

a+b-1 < 0

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Rendezés után

a+b < 1

Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy vesszük a kört, behúzzuk az egyenest, és a megoldáshalmaz a körnek azon része, amely az egyenes alá esik. Mivel a kör középpontjának koordinátái rajta vannak az egyenesen, ezért az egyenes félbevágja a kört, tehát valóban egy félkör lesz a megoldás (pontosabban egy nyílt félkör, mivel a záró pontot levágja az egyenes).

Az ominózus félkör:

[link]

Namost, férfiasan bevallom, hogy én brute force módon nekiestem a feladnak, és nagyon rusnya algebrai megoldások jöttek ki végeredménynek, amikből ráadásul ki sem olvasható egykönnyen, hogy a keresett ponthalmaz valóban egy (fél)kör. Ennek megfelelően érdemes fejben tartani a kör és egyenes egyenleténél tanultakat, hogy jóval megkönnyítsük a saját életünket.