Igazoljuk, hogy ha u, v egészsz számok, akkor Q (√u) = Q (√v) pontosan akkor teljesül, ha uv négyzetszám (? ).

A négyzetszámok primtényezős felbontásában minden primszám páros kitevővel jelenik meg. Amikor ezt a négyzetszámot szétbontod két egész szám, u és v szorzatára, akkor u és v között fel kell osztani ezeket a primszámokat. Ha mindkettőnek csak páros kitevőrű primtényezők jutnak, akkor egyszerű a dolog, mert u és v mindketten szintén négyzetszámok lesznek. Feltételezzük tehát a továbbiakban, hogy u és v nem négyzetszámok. Ebben az esetben u és v esetében ugyanazok a primtényezők szerepelnek páratlan kitevővel (hiszen egy négyzetszámot "szedtünk szét"). A páratlan kitevőjű primtényezőket dobjuk össze, és csoportosítjuk ki. Ilyen módon u és v felírható u = n√k ill. v = m√k alakban (k a páratlan kitevőjű primtényezők szorzata). Innentől szerintem nem olyan nehéz :) A visszafelé való érvelés sem (ha Q (√u) = Q (√v), akkor uv négyzetszám).

Bocsánat, elfelejtettem odaírni, hogy n és m természetesen egész számok!