Hogyan lehet bebizonyítani, hogy ha a, b, c egész számokra teljesül, az ab+bc+ca=0 összefüggés, akkor az abc szorzat felírható egy négyzetszám és egy köbszám szorzataként?

Nem kell bizonyítani semmit, mert az állítás nem igaz:

a=10

b=15

c=-6

Bizonyítás:

Tegyük fel, hogy p prímszám és p|abc (értsd: p osztója abc-nek)! Ekkor p|a, vagy p|b vagy p|c. Tegyük fel, hogy p|a. Ekkor ab+bc+ca=0 miatt bc=-a(b+c). A jobb oldal osztható a-val, tehát p-vel is, emiatt a bal oldal is: p|bc, akkor viszont p|a és p|bc miatt p^2|abc.

Tehát ha egy prímszám osztja az abc-t, akkor annak a négyzete is.

Bontsuk prímtényezőkre az abc számot:

abc=(p1)^k1 * (p2)^k2 * ... * (pn)^kn.

Ekkor mindegyik kitevő legalább kettő, hiszen ha egy prím osztó, akkor a négyzete is.

Ha egy egész szám legalább 2, akkor felírható 3a+2b alakban, ahol a>=0, b>=0 és mindkettő egész (például így írható fel: ha x páros és legalább kettő, akkor x=2b alakban, ha páratlan és legalább 2, akkor x=3+2b, tehát a=1).

Tehát írjuk fel az összes kitevőt így (ki = 3*ai + 2*bi), és alakítsuk tovább:

abc = (p1)^k1 * (p2)^k2 * ... * (pn)^kn

= (p1)^(3*a1 + 2*b1) * (p2)^(3*a2 + 2*b2) + ... + (pn)^(3*an + 2*bn)

= [ (p1)^(3*a1) * (p2)^(3*a2) * ... * (pn)^(3*an) ] * [ (p1)^(2*b1) * (p2)^(2*b2) * ... * (pn)^(2*bn) ]

= [ (p1)^a1 * (p2)^a2 * ... * (pn)^an ]^3 * [ (p1)^b1 * (p2)^b2 * ... * (pn)^bn ]^2.

És meg is van a felbontásod egy köbszám és egy négyzetszám szorzatára.

Erre próbált rávezetni a legelső komment, szintén tőlem.