Mi lehet a négyzetszám utolsó két számjegye? Légyszíves ha lehet indoklással, és eredménnyel! Holnap van a határidő még lehet akkor ma, azt nagyon megköszönném!

Ha a szám nagyobb, mint száz, akkor felírható 100*a+b alakban úgy, hogy az utolsó két számjegyből képzett szám legyen mondjuk a, a többi számjegyből képzett szám meg b.

Pl.: 83524 esetén 835 * 100 + 24

Mi ennek a négyzete?

(100a+b)² = (100a)² + 2*100a*b + b² =10000a² + 200ab + b²

Az 10000a² és a 200ab utolsó két számjegye mindig nulla lesz.

Ebből következően a négyzetszám utolsó két számjegyét az adott szám utolsó két számjegye fogja csak befolyásolni. Pl. 9² = 81, 109² = 11881, 209² = 43681, 309² = 95481, stb…

Elegendő tehát megvizsgálni, az első száz négyzetszám végződéseit, más végződések nem fordulhatnak elő.

Ezt már akár fel is lehet írni, pláne egyszerű egy excel táblában összehozni a dolgot, de tegyük fel, csak ceruzánk, papírunk van, és nem akarjuk kiszámolni száz szám négyzetét.

Ebben az esetben ugye vannak kétjegyű számok, amik mind felírhatók ilyen formában: 10x+y. (Ahol x és y nemnegatív egész, és y<10.)

Ennek a négyzete:

(10x+y)² = 100x² + 20xy + y²

A 100x² itt – hasonlóan az előző esethez – mindig 00 végződést fog jelenteni, tehát nem játszik szerepet a kérdés szempontjából.

A 20xy+y² utolsó két számjegye megadja tehát az adott négyzetszám utolsó két számjegyet.

Az is látni lehet, hogy az utolsó számjegybe a 20xy nem szól bele, mivel x és y is egész, ezért a 20xy-nak az utolsó számjegye minden esetben nulla lesz, így az utolsó számjegyet kizárólag y² határozza meg. Mivel y<10, ezért gyorsan meg lehet nézni az első 10 négyzetszámból, hogy egyáltalán y² utolsó számjegye (jelöljük z-vel) mi lehet:

z=0 (0)

z=1 (1,81)

z=4 (4,64)

z=5 (25)

z=6 (16,36)

z=9 (9,49)

Nézzük meg sorban, minden y értékre, hogy mi adódhat:

y=0 esetén a 20xy+y² is nulla lesz, tehát ha a szám utolsó számjegye nulla, akkor a négyzete 00-ra fog végződni.

y=1 esetén a 20xy+y²=20x+1, ami minden esetben 10*(2x)+1 alakú lesz. Ebben az esetben tehát az utolsó előtti számjegy a kettes szorzótábla utolsó számjegyei, azaz páros számok lesznek, míg az utolsó számjegy 1 lesz.

y=2 esetén a 20xy+y²=40x+4= 10*(4x)+4, azaz az utolsó előtt számjegy a négyes szorzótábla utolsó számjegyei lesznek – ez is a páros számokat jelenti –, az utolsó számjegy meg 4-es.

y=3 esetén 20xy+y²=60x+9 = 10*(6x)+9, azaz az utolsó előtti számjegy a hatos szorzótábla utolsó számjegyei lesznek – páros számok –, a utolsó számjegy meg 9-es.

y=4 esetén 20xy+y²=80x+16 = 10*(8x)+16 = 10*(8x+1)+6, azaz az utolsó előtti számjegy a nyolcas szorzótábla utolsó számjegyeinél eggyel nagyobb számok lesznek – páratlan számok –, a utolsó számjegy meg 6-es.

y=5 esetén 20xy+y²=100x+25, azaz itt a 100x nem szól bele az utolsó két számjegy alakulásába, ezért az 5-re végződő négyzetszámok minden esetben 25-re végződnek.

Lehet folytatni a sort 9-ig, de nem teszem meg. Az eredmény:

00,

01,21,41,61,81,

04,24,44,64,84,

25,

16,36,56,76,96

09,29,49,69,89

Más lehetőség nincs, a négyzetszámok csak ezekre a két számjegyekre végződhetnek. Összesen tehát 22 féle kétjegyű végződése lehet a négyzetszámoknak.