Deriválásnál hogyan ismerem fel az összetett függvényt?

Igazság szerint minden függvény tekinthető összetett függvénynek, mivel minden függvény előállítható önmaga konpozíciójaként is.

Például az

f(x)=x

függvény is tekinthető összetettnek, ami a g(x)=x és h(x)=x függvények összetételéből születik, ekkor az f láncszabály szerinti deriváltja

x'*x'=1*1=1. Persze az ennél bonyolultabb függvényeket szoktuk összetettnek tekinteni.

Van egy nagyon egyszerű módja az összetett függvények felfedezésének; be kell helyettesíteni egy számot, majd kiszámolni a függvényértéket. Nem is a pontos függvényérték a lényeges, hanem hogy milyen módon jutsz oda.

Például vegyük a

t(x) = 3^sin(2x)

Függvényt. Először a 2-vel való szorzást végeznéd el, utána vennéd az érték szinuszát, végül a kapott értékkel haványoznád a 3-at. Ennek megfelelően három függvényt tudunk elkülöníteni;

f(x)=2x, g(x)=sin(x), h(x)=3^x, és a függvénykompozíció hogof alakú, vagyis h(g(f(x)).

Fontos még megjegyezni, hogy a láncszabály esetén mindig a külső függvény szerint kezdesz el deriválni, na, de honnan lehet tudni, hogy melyik a külső függvény? A választ itt is helyettesítésiérték-vadászat adja; az a külső függvény, amelyik műveletet legutoljára végeznél el. A fenti példában a hatványozás az utolsó művelet, emiatt az lesz a külső függvény, és ennel deriváltját az utolsó előtti függvény, vagyis a szinusz deriváltjával kell beszorozni, ami szintén egy összetett függvény, de az ugyanúgy kiszámolató a lánszabály folytatólagos használatával.