Összetett függvény deriválása?

Először a külső függvényt írd fel f(z) alakban, ahol z=g(x) a belső függvény lesz. A külsőt kell deriválni először, mintha a z helyén x lenne, majd ezt szorozni z (tehát g(x)) deriváltjával.

Tehát pl. e^(-x):

f(z) = e^z

z = g(x) = -x

f(z) deriváltja e^z, ami persze e^(-x)

g(x) deriváltja -1

ezért az igazi derivált: -e^(-x)

Most az első példában persze nem ez van, hanem meg van variálva még egy szorzat deriválttal is.

x·e^(-x) → 1·e^(-x) + x·(az összetett fv. deriváltja) = e^(-x) + x·(-e^(-x)) = e^(-x) - x·e^(-x)

2. e^(x·(sin 2x + x))

Most többszörösen összetett a függvény, sorban kell majd haladni:

f(z) = e^z

z = g(x) = x·(sin(2x)+x)

f(z) deriváltja e^z, vagyis e^(x·(sin(2x)+x))

g(x) deriváltja 1·(sin(2x)+x) + x·(a szinuszosnak a deriváltja)

A szinuszos:

h(x) = sin(2x)+x

Összeg deriváltja egyszerű, de most a sin(2x) összetett függvény, azzal megint el kell játszani a deriválást:

Nem írom fel darabonként. A szinusz deriváltja cos, tehát cos(2x), amit még szorozni kell 2x deriváltjával, ami 2.

sin(2x)' = 2·cos(2x)

Ezt visszaírva g(x) deriváltjába:

g'(x) = 1·(sin(2x)+x) + x·(2·cos(2x))

és ezzel beszorozva az először kiszámolt külső fv. deriváltat:

e^(x·(sin(2x)+x))·( sin(2x) + x + 2x·cos(2x) )

3.

(ln√x)^x

Hányadikos vagy? Ez nem sima összetett függvény deriválás, egyetemen se könnyű feladat.

A 3. feladat helyett annak egy egyszerűbb változatát leírom:

y = x^x deriváltja:

Eléggé elvont lesz... Vegyük mindkét oldal logaritmusát:

ln y = x·ln x

és deriváljuk ezt

d(ln y)/dx = d(x·ln x)/dx

A jobb oldalon lévő derivált az egyszerűbb, az egy szorzat deriváltja: 1·ln x + x·1/x = ln x + 1

A bal oldal viszont egy összetett függvény deriváltja, ahol a külső függvény az ln, a belső pedig az y (hisz az is függvény.

ln(y) deriváltja 1/y, amit szorozni kell y deriváltjával, ami dy/dx:

1/y · dy/dx = ln x + 1

és most ha beszorzunk y-nal, már ki is jön a keresett dy/dx:

dy/dx = y·(1 + ln x)

persze a jobb oldalon y helyébe jobb beleírni x^x-t, hiszen az az:

dy/dx = (x^x)(1 + ln x)

---

Hasonló módon lehetne megoldani a 3. feladatot is, de szerintem ez is elég bonyolult volt...