Az ABCCC alakú szám, amelyben az egyforma betűk egyenlő számjegyek és A nem egyenlő 0, osztható 33-mal. Mi az összes megoldás?

Egy szám akkor osztható 33-mal, ha osztható 3-mal és 11-gyel.

1) Akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal.

Tehát A+B+3C osztható 3-mal. Azaz A+B osztható 3-mal. Ez a következő (A,B) párok esetén teljesül:

(1,2) (1,5) (1,8)

(2,1) (2,4) (2,7)

(3,0) (3,3) (3,6) (3,9)

(4,2) (4,5) (4,8)

(5,1) (5,4) (5,7)

(6,0) (6,3) (6,6) (6,9)

(7,2) (7,5) (7,8)

(8,1) (8,4) (8,7)

(9,0) (9,3) (9,6) (9,9)

Ekkor pedig C még bármi lehet.

2) Egy szám akkor osztható 11-gyel, ha a páros helyen álló számjegyek összegének és páratlan helyen álló számjegyek összegének különbsége 11-gyel osztható!

A+2C - (B+C) = A-B+C osztható 11-gyel.

A fenti (30db) (A,B) párokat kell vizsgálni.

Látható, hogy -8 <= A-B <= 9. Könnyen látható, hogy az egyetlen eset, mikor nem tudunk megfelelő C-t választani a már meglévő (A,B) párhoz akkor van, mikor A-B = 1, minden más esetben van megfelelő C-nk.

Ez összesen 3 eset, ha jól láttam, szóval maradt 27 megfelelő párunk.

Az is észrevehető, hogy minden egyes párhoz, csak és kizárólag egy C lehet megfelelő. Ebből adódik, hogy pontosan 27 ilyen számunk van.