Egy kétjegyű szám számjegyeinek a négyzetösszege 41. A számnak és a fordítottjának a szorzata 2430. Melyik lehet ez a szám?

A számjegyek közül kiesik a 9 (9² = 81), a 8 (8² = 64) és a 7 (7² = 49). Vizsgáld meg, milyen párosok négyzetösszege lehet 41!

6² = 36. Marad még 5 ami egyik egész számnak sem a négyzete.

És így tovább...

a^2+b^2=41

(10a+b)(10b+a)=2430

---------------------------

Ezt az egyenletrendszert kell megoldanod.

(45,54)

Legyen a kérdéses szám tizes helyiértékén a, egyes helyiértékén b.

Ekkor a szám értéke 10a+b. Ennek a számnak a "fordítottjának" tizes helyiértékén b, egyes helyiértékén a áll. Vagyis a fordított értéke 10b+a.

1.) a^2+b^2=41 -> a számjegyek négyzetösszege

2.) (10a+b)(10b+a)=2430 -> a szám és a "fordítottjának" szorzata

(10a+b)(10b+a)=100ab+10b^2+10a^2+ab=101ab+10(a^2+b^2)=2430

Az első egyenlet szerint a^2+b^2=41,

vagyis 101ab+10(a^2+b^2)=101ab+10(41)=101ab+410=2430

Mindkét oldalból kivonunk 410-et.

101ab=2020

osztunk 101-gyel

3.) ab=20

Az első egyenlethez hozzáadjuk a harmadik kétszeresét.

a^2+b^2 + 2*ab = 41 + 2*20

a^2+2ab+b^2=81

Nevezetes azonosság, hogy (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^2=81

négyzetgyököt vonunk

|a+b|=9

Mivel a és b is természetes szám, ezért a+b is, vagyis |a+b|=a+b.

4.) a+b=9

Tehát ab=20 és a+b=9.

Ennek az egyenletrendszernek meg is lehet "selyteni a megoldását":

a és b 4 vagy 5, hiszen 4*5=20 és 4+5=9, de nektek valszeg meg kell oldani az egenletrendszert, így leírom ezt is.

a+b=9 -> b=9-a, ezt be kell helyettesíteni az ab=20-ba.

a(9-a)=20

-a^2+9a=20

Nullára rendezzük

-a^2+9a-20=0

megoldóképlet:

a1,2=(-9+-sqrt((9)^2-4*(-1)*(-20)))/(2*(-1))=(-9+-sqrt(81-80))/(-2)=

=(-9+-1)/(-2)

a1=(-9+1)/(-2)=(-8)/(-2)=4

a2=(-9-1)/(-2)=(-10)/(-2)=5

b=9-a, ebből következik b1 és b2

b1=9-a1=9-4=5

b2=9-a2=9-5=4

Látszik, hogy a feladatnak két megoldása van, az egyik, amikor a=a1=4 és b=b1=5, a másik pedig amikor a=a2=5 és b=b2=4.

Tehát a két keresett szám a 45 és az 54.

De ellenőrizzük le:

4^2+5^2=16+25=41 -> ezt a feltételt teljesíti mindkét megoldás

45*54=2430 -> ez is teljesül

Biztos felmerült benned, hogy miért "ugyanazok" a és b megoldásai.

Ennek az az oka, hogy az egyenletrendszer "szimetrikus" a és b cseréjére. Próbáldd ki, hogy a két eredeti egyenletben minden a helyére b-t írsz, és minden b helyére a-t. Pontosan ugyanazokat az eredeti egyenleteket fogod visszakapni.