Egy másodfokú függvény legnagyobb értékét hogy kell kiszámitani?

Az f(x)=a*x^2+b*x+c függvény szélsőértékhelye: xs=-b/(2*a)

Itt a=-2, b=3, c=-5, xs=-3/(-4)=3/4

A maximuma: f(3/4)

Helyettesíts be!

Ha érteni is akarod, nem csak semmitmondó képletekbe beírkálni;

Vegyük például az

(x+3)^2-4

függvényt.Erről le tudjuk olvasni, hogy a minimuma -4, amit az x=-3 helyen vesz fel. Ezt egy egyszerű meggondolással ki is lehet találni; Ha egy számot négyzetre emelünk, akkor annak értéke vagy pozitív vagy 0. Értelemszerűen akkor lesz a legkisebb az értéke, hogyha a négyzetre emelt szám a 0, ezt x=-3 esetén tudjuk elérni, ekkor a függvényérték (-3+3)^2-4=0^2-4=0-4=-4 lesz. Ez azt jelenti, hogy ha ilyen alakra tudjuk hozni a függvényt, akkor abból ki tudjuk olvasni a szélsőértéket, minden esetben, a kulcs abban rejlik, hogy a négyzetes rész értéke 0 kell, hogy legyen, aztán hogy a szélsőérték minimum vagy maximum, az is hamar kiderül. Ezt az alakot teljes négyzetnek hívjuk, amit elvileg már tanultatok.

Alakítsuk teljes négyzetté a kifejezést;

-2x^2+3x-5 = -2*(x^2-(3/2)x)-5 = -2*((x-(3/4))^2-(3/4)^2)-5 = -2*((x-(3/4))^2-9/16)-5 = -2*((x-(3/4))^2)+(9/8)-5 = -2*((x-(3/4))^2)-31/8

Itt ugyanaz a történet, mint az előbb; ha a 0-t emeljük négyzetre (ami x=3/4 esetén lesz igaz), akkor -31/8-ot kapunk értéknek, ha pedig nem a 0-t emeljük négyzetre, akkor a -31/8 értéke biztosan csökken, mert kivonunk belőle. Ennek megfelelően a maximum értéke -31/8 lesz.

Az ilyen "csúnya" feladatoknál kész tortúra végigszámolni a teljes négyzetes alakot. Szerencsére van másik megoldás is, ami sokkal egyszerűbb.

Tudjuk, hogy minden másodfokú függvény a koordináta-rendzserben "U" (parabola) alakú, ami egy tengelyesen szimmetrikus alakzat, ahol a szimmetriatengely a csúcsponton halad át. Ez azt is eredményezi, hogy a függvény -a szélsőértéket leszámítva- minden értéket pontosan kétszer vesz fel, és a szimmetria miatt a szélsőőértéktől ugyanolyan távolságra. Ha ügyesen választjuk meg az értkét, akkor pikk-pakk ki tudjuk számolni a szélsőértéket.

Nézzük meg, hogy hol veszi fel a függvény az 5-öt értéknek, tehát oldjuk meg a

-2x^2+3x+5=5

egyenletet. Kivonunk 5-öt:

-2x^2+3x=0, kiemelünk x-et:

x*(-2x+3)=0, a szorzat értéke akkor 0, hogyha valamelyik tényezője 0, így vagy x=0 vagy -2x+3=0, vagyis x=3/2.

A fentiek értelmében a szimmetriatengely a 0-tól és a 3/2-től egyenlő távolságra van, ami a 3/4, tehát az x=3/4 esetén lesz szélsőérték. A szélsőérték kiszámításához csak be kell írnunk és ki kell számolnunk;

-2*(3/4)^2+3*(3/4)-5=...=-31/8, ezek alapján pedig fel is tudjuk írni a teljes négyzetes alakot, ami a már korábban látott

-2*((x-(3/4))^2)-31/8.

Érdemes meggondolni, hogy miért pont az 5-öt választottam. Azért, mert ezzel egy hiányos másodfokú egyenletet kaptunk, amit egy egyszerű kiemeléssel meg lehetett gyorsan oldani. Ha másik számot választottam volna, akkor bajlódhattam volna a megoldóképlettel is. Ráadásul az 5-ös választással az egyik megoldás biztosan a 0 lett, és azt nem nehéz kitalálni, hogy a 0-hoz és egy 'z' számhoz a z/2 szám áll ugyanolyan távolságra.

A fenti metódust általánosítani is lehet; adjuk meg az f(x)=ax^2+bx+c másodfokú függvény szélsőértékhelyét és értékét, ahol a=/=0. Ugyanazt csináljuk,mint az előbb; keresünk egy alkalmas értéket, ez most a c lesz:

ax^2+bx+c=c, vagyis ax^2+bx=0. Egy egyszerű kiemeléssel:

x*(ax+b)=0, erre pedig az x=0 és x=-b/a megodásokat kapjuk. Ehhez a két értékhez az x=(-b/a)/2=-b/(2*a) érték áll ugyanolyan távolságra, ez lesz a szélsőérték helye. Az érrtéket ugyanúgy kapjuk, hogy behelyettesítünk;

f(-b/(2a)) = a*(-b/(2a))^2 + b*(-b/(2a)) + c = ... = c - b^2/(4a), ez lesz a szélsőérték. Ez utóbbit nem feltétlenül kell tudnunk, csak a hely kiszámítása az érdekes.

Másik megoldási mód a deriválás, bár olyat valószínűleg még nem tanultál.