Tudnátok segíteni egy logikai feladatban?

Hát nem volt egyszerű, ehhez már matekozni kellett.

Megoldás:

1) Induljunk ki a "legalább x állítás hamis" állításokból!

Az n. ilyen állítás ezt mondja: "A lapon legalább 2n-1 állítás hamis."

Azt kell észrevenni, hogyha az n. ilyen állításunk igaz, akkor az őt megelőző összes többi ilyen állítás is, mivel a "legalább" szót használja.

Na most, tegyük fel, hogy az n. állítás igaz, tehát "A lapon legalább 2n-1 állítás hamis." Ez mit is jelent?

Egyrészt az, hogy biztosan van n db igaz állításunk.

Másrészt azt, hogy LEGFELJEBB 100-(2n-1) igaz állításunk van. (összes mínusz a tuti hamis).

Ekkor írjuk fel ezt: n <= 100-(2n-1) (ugye mivel n állítás igaz, közben van egy felső korlátja az igazaknak)

Ebből kijön, hogy n <= 101/3, de mivel n egész, írjuk, hogy n <= 33.

Ellenőrizzük: Mi van, ha n = 34? A 34. vizsgált mondat állítása:

"Ezen a lapon legalább 67 állítás hamis." Na most...67 hamis, de 34 tuti igaz, ez több, mint 100, ellentmondás. Azaz a levezetés eddig jónak tűnik.

Mit tudunk eddig? Azt, hogy 25 <= n <= 33.

(A 25 alsó korlát az onnan jött, amit te is írtál).

Jöjjön a második rész, a "pontosan" mondatok vizsgálata.

2) A "pontosan" állítások közül legfeljebb egy igaz. Ezt a részt bontsuk két felé.

a) Tegyük fel, hogy egyik sem igaz ezek közül a mondatok közül.

Ekkor a "pontosan" mondatok mindegyike hamis, azaz van 50 hamis állításunk.

De azt is tudjuk, hogy a "legalább" mondatok közül is MAX 33 lehet igaz, azaz 17 legalább hamis.

Ebből adódik, hogy van legalább 67 hamis állításunk. No de ez megint ellentmondás, ugyanis bizonyítottuk az előző részben, hogy az

"Ezen a lapon legalább 67 állítás hamis" NEM LEHET IGAZ.

Így ez nem jó.

b) A "pontosan" mondatok közül pontosan 1 igaz.

Ez azt jelenti, hogy van nekünk 49 "pontosan" mondatunk, ami nem igaz és legalább 17 (az előzőek alapján) "legalább" mondatunk, ami szintén nem igaz. Azaz az alábbi állítás igaz:

A lapon legalább 66 állítás hamis!!!

Ezzel pedig kész is vagyunk. Miért?

Azt már unalomig tudjuk, hogy "A lapon legalább 67 állítás hamis" állítás nem lehet igaz. Azaz PONTOSAN 66 állításunk lesz hamis.

Ebből adódik, hogy pontosan 34 lesz igaz.

A pontosan mondatok közül ez: "A lapon pontosan 34 állítás igaz"

A "legalább" mondatok közül pedig mind a 33, amiről beláttuk, hogy lehetséges.

Nincs mit, remélem jó, bár annak tűnik.

Egyébként nem megerőltető, szeretem a problémamegoldást :D