Legyen egy ABC háromszögem. Az AB szakaszon vegyünk fel egy tetszőleges P pontot. Hogy bizonyítom be, hogy |AP| <= max{CA, CB} ?

A bizonyítást összegző mondatnál van egy gépelési hibám. Javítva:

,,Ez viszont épp azt jelenti, hogy a CB szakasz nagyobb a CP szakasznál, hiszen mindketten oldalak a PBC△ részháromszögben, amiről meg tudjuk, hogy a CB a legnagyobb oldala.

És épp ezt kellett bizonyítani - a CB szakasz íme beláttuk hogy nagyobb a CP szakasznál''.

Élőszóban összefogva az egészet (kicsit pongyolábban, az elfajuló esetek és az egyenlőség megemlítése nélkül):

Ha tetszőleges háromszög valamelyik csúcsából a szemközti oldalhoz szakaszt húzok, akkor e szakasznál valamelyik ,,szomszédos''oldala a háromszögnek biztosan nagyobb (elfajuló esetben egyenlő).

Bizonyítás: mert a csúcsból a szemközti oldalhoz húzott szakasz ezt a bizonyos szembenfekvő oldalt mint egyenesszöget két rész-szögre vágja, ezek közül pedig az egyik biztosan nem hegyesszög (vagyis az egyik egész biztos,,nagy szög'').

A ,,nagy'' szöget választva, a hozzátartozó rész-háromszögben biztosan ő a legnagyobb szög.*

Ebből a tényből ugyanabben a részháromszögben a megfelelő oldalak közti egyenlőtlenségekre következtehetünk,** ami tulajdonképp már igazolja is a feladat állítás.

____

Felhasznált segédtételek csillagozással jelölve:

*: Ha egy háromszögnek van derékszöge, akkor benne a derékszög a legnagyobbb szög, többi szöge biztosan csak hegyesszög lehet. Tompaszögű háromszögben a tompaszög a legnagyobbb szög, (többi szöge nem lehet tompa- vagy derékszög) hanem biztosan csak hegyesszög.

**: Tetszőleges háromszögben a nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van.