Legyen egy ABC háromszögem. Az AB szakaszon vegyünk fel egy tetszőleges P pontot. Hogy bizonyítom be, hogy |AP| <= max{CA, CB} ?

Ehhez meg a derekszogu haromszogek se feltetlenul kellenek.

Vegyuk a szelsoseges esetet, amikor B egybeesik P-vel (azaz AP szakasz maximalis hosszusagu). Mivel ekkor AP=AB, konnyen belathato hogy vagy AC vagy BC ekkor is csak >= lehet AP-nel, mert kulonben nem teljesul a haromszog azon kriteriuma, hogy barmelyik ket oldala hosszusaganak osszege nagyobb a harmadiknal. Minden mas esetben, amikor AP < AB, a fenti egyenlotlenseg szuksegszeruen max{AC,BC}>AP lesz.

|CP| ≤ max {|CA|, |CB|}

ez ugyanazt jelenti, mint az alábbi megfogalmazás:

|CP| ≤ |CA| vagy |CP| ≤ |CB|

vagyis: valamely csúcsból a szemközi oldalra indított szakasznál VALAMELYIK ,,szomszédos'' oldal biztosan nagyobb (vagy elfajuló esetben egyenlő).

Bizonyítás: ahogy a C csúcsból a szemközti AB oldalra indítottuk a CP szakaszt, ez a CP szakasz ugye az APB egyenesszöget két szögre vágja: az APC∠ szögre és a CPB∠ szögre:

APC∠ + CPB∠ = APB egyenesszög = 180°

Ebből az következik, hogy APC∠ és CPB∠ közül legalább az egyik ,,nagy'' szög (nagy szögön azt értem, hogy legalább derékszög, vagyis derékszög vagy tompaszög). Ez nyilvánvaló, hisz' nem lehet mindkét szög hegyesszög, mert nem jönne ki az egyenesszög összeg.

Most igazából az általánosság megszorítása nélkül tegyük fel (mert feltehetjük), hogy APC∠ és CPB∠ közül épp CPB∠ a ,,nagy'' szög.

Ha pl. CPB∠ szög a ,,nagy'', akkor az azt jelentni, hogy az eredeti ABC△ háromszögnek a PBC△ részháromszöge derékszögű vagy tompaszögű háromszög a CPB∠ szöggel. És tudjuk, hogy derékszögű vagy tompaszögű háromszögnek mindig az bizonyos derék- vagy tompaszöge a legnagyobbik szöge, a többi csakis kisebb lehet (tehát csakis hegyesszög).

És mivel immár tudjuk, hogy a PBC△ részháromszög legnagyobb szöge a CPB∠ szög, ebből már az is következik, hogy a PBC△ részháromszögben a CB oldal a legnagyobb oldal. ***Hiszen_van_egy_olyan_tétel,_hogy_bármely_háromszögben_a_nagyobb_szöggel_szemben_nagyobb_oldal_van***, márpedig a PBC△ részháromszögben épp a CB oldal van a CPB∠ szöggel szemben, erről meg már korábban beláttuk, hogy ő a legnagyobb szöge ennek a részháromszognek.

Ez viszont épp azt jelenti, hogy a PB szakasz nagyobb a CP szakasznál, hiszen mindketten oldalak a PBC△ részháromszögben, amiről meg tudjuk, hogy a PB a legnagyobb oldala.

És épp ezt kellett bizonyítani - a PB szakasz íme beláttuk hogy nagyobb a CP oldalnál. Természesen ez tulajdonképp csak az egyik ága a bizonyításnak, hiszen volt benne egy elágazás annál a résznél ahol felírtuk hogy

,, APC∠ + CPB∠ = APB egyenesszög = 180° ''

A dolgot tehát még végiggondoljuk arra az esetre is, amikor nem CPB∠, hanem APC∠ a ,,nagy'' szög, de erre nézve is ugyanúgy nézk ki bizonyítás, csak értelemszerűen a háromszög másik oldalán levő dolgokra kell ugyanazokat a következetetéseket átgondolni.

Ezzel majdnem kész a bizonyítás.

Az egyenlőség esetét érdemes még átgondolni: természetesen egyenlőség elfajuló esetben igaz (P épp egybeesik A-val vagy B-vel).

Amit kihasználtam mint tételt: ,,Tetszőleges háromszogre igaz, hogy a nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van''.