Van egy feladat, két függvény metszetpontját kell kiszámolni. Hogyan kellene? Nem megy.

A metszéspontnak van egy x és egy y koordinátája. Ezekre a koordinátákra igaz, hogy kielégítik mindkét függvény egyenletét, hiszen mindkét egyenesnek része a metszéspont. Tehát az alábbi egyenletrendszert kell megoldanod:

x=4

y=3x-4

Megoldás ebben az esetben legegyszerűbb behelyettesítéssel:

y=3*(x=4)-4=3*4-4=8

Tehát a pont a (4;8)

Teljesen mindegy, hogy néz ki a két egyenleted, ugyanígy kell megoldani. Legfeljebb algebrailag nehezebb kiszámolni.

Egyébként az x=4 "függvény" az a 4-ben az x tengellyel párhuzamos egyenes. Nyilván nem függvény, mivel nem egyértelmű a hozzárendelés. De koordinátageometriában ez nem probléma. Nem kell függvénynek lennie valaminek ahhoz, hogy ábrázolni és számolni lehessen.

Az y csak egy jelzés a függvényekre. Olyan, minthogy a sebesség jele a fizikában v, az út meg s.

y helyett (amennyiben több függvényről van szó) írhatunk f(x)-et, g(x)-et, h(x)-et, i(x)-et, stb., mert így több függvény esetén átláthatóbb. Ti az iskolában egyszerre csak egy függvénnyel számoltok, ezért elég csak az y jelzés. De az f(x) jelzés ugyan azt jelenti, mint az y.

A függvény nem más, mint egy diagram. Egy speciális diagram, ami egy ismeretlent tartalmazó matematikai kifejezés értékének (eredményének) alakulását ábrázolja. Az x az ismeretlen, ennek a helyére kell behelyettesíteni a számokat. Erre kapunk egy eredményt, ez az y, vagy f(x) értéke.

Pl.:

x = 5

Ebben az esetben:

y = 5x - 4 = 25 - 4 = 21 , tehát az y értéke 21.

Ezt hívják függvényértéknek. Vagyis ennek a függvénynek 21 az értéke az adott pontban (adott helyen). Ez az x = 5 hely.

Ez eddig még csak egy pont, mert egyetlen egy darab számról van szó. Na de mi van, ha az "y = 5x - 4"-be az x helyére az összes létező számot egyenként berakjuk, és ezekre kiszámoljuk az összes y értéket? Végtelen sok x hely esetén végtelen sok eredményt kapunk. Nem egy pontot kapunk, hanem egy vonalat. Végtelen sok pontból álló vonalat. Ez a függvény maga, ez az a vonal, ami valamikor egy egyenes, valamiket pedig görbe.

Nyilván az egészet nem tudjuk ábrázolni, csak egy részét, mert nincs hozzá elég papír, plusz nincs is mindig értelme az egészet ábrázolni.

Függvény ábrázolásakor síkbeli ábrázolás történik, ahol két tengely van, X-tengely és Y-tengely. Ezek metszéspontja a 0 pont. Itt mindkét tengely értéke nulla.

Az X-tengely az alsó vízszintes tengely, ezen az x-ek (tehát az ismeretlenek) értékei vannak feltüntetve. Ezeket helyeknek mondjuk. Pl. az x = 7 hely a 7-nél van az X-tengelyen.

Az Y-tengely a felső függőleges tengely, ezen az y-ok (tehát az eredmények) értékei vannak feltüntetve. Ezeket pedig függvényértékeknek mondjuk.

Két függvénynek ott van közös pontja, ahol metszik egymást. Ott metszik egymást, ahol azonos az adott pontban (helyen) az értékük.

Tehát a feladat, hogy van két függvény, és meg kell keresni, hogy melyik x ismeretlen esetén azonos a két függvény értéke.

A láthatóság kedvéért:

f(x) = 4

g(x) = 3x - 4

Ez a kettő mikor egyenlő? Tehát mely pontban f(x) = g(x)?

Nagyon egyszerű, csinálsz belőlük egy egyenletet, ahol az egyik oldalon az egyik függvény van, a másikon meg a másik.

3x - 4 = 4

Majd rendezzük az egyenletet:

3x - 4 = 4 /+4

3x = 8 /:3

x = 8/3 = 2,67

Ez az x értéke, ezen a helyen egyenlő a két függvény értéke, tehát itt metszik egymást.

A feladatban azt is kérdezhették volna, hogy itt mennyi a két függvény értéke. Tudjuk, hogy a két függvény értéke azonos, most már csak vissza kell helyettesíteni az x értékét, és megkapjuk a függvények értékét az adott pontban. Mennyi pl. itt g(x)-nek az értéke?

x = 8/3

g(x) = 3x - 4 = 3(8/3) - 4 = 8 - 4 = 4

Tehát a két függvény metszéspontjában a két függvény értéke 4.

A te általad leírt feladatban két függvényről van szó, ahol az egyik konstans, tehát egy konkrét megadott értéke van (mindig 4), számolni és behelyettesíteni nem kell és nem is lehet, mert a kifejezés értéke már adott. A másik pedig az y függvény.

Azt még hozzátenném, hogy az első csak egy példa:

x = 5

Ebben az esetben:

y = 5x - 4 = 25 - 4 = 21 , tehát az y értéke 21.

Ez viszont már a te feladatod megoldva:

f(x) = 4

g(x) = 3x - 4

Ez a kettő mikor egyenlő? Tehát mely pontban f(x) = g(x)?

Nagyon egyszerű, csinálsz belőlük egy egyenletet, ahol az egyik oldalon az egyik függvény van, a másikon meg a másik.

3x - 4 = 4

Majd rendezzük az egyenletet:

3x - 4 = 4 /+4

3x = 8 /:3

x = 8/3 = 2,67

Ez az x értéke, ezen a helyen egyenlő a két függvény értéke, tehát itt metszik egymást.

"Hogyan kéne ábrázolnom"

Ha grafikusan szeretnéd megoldani:

A vízszintes tengely ugye az x, a függőleges az y.

Az első egyszerű: a vízszintes tengelyen elmész 4-ig és ott húzol a tengelyre merőleges, függőleges egyenest - ez lesz az első függvény.

A második egy kicsit bonyolultabb de behelyettesítéssel megoldható:

* ha x = 0, akkor 3 * x - 4 = 3 * 0 - 4 = -4 --> tehát a (0, -4) pontban (x,y a koordináták sorrendje) teszel egy pontot

* ha x = 1, akkor 3 * x - 4 = 3 * 1 - 4 = -1 --> tehát a (1, -1) pontban (x,y a koordináták sorrendje) teszel egy másik pontot

a két pontot összekötöd és megkapod a második függvényt.

Ahol a kettő metszi egymást, ott lesz a megoldás.

A lineáris függvények ábrázolására a "lépegetős" megoldást szokták tanítani, vagyis az y-tengelyen elmész a konstans taghoz, ami jelen esetben a -4, majd onnan 1-et jobbra lépsz és aszerint lépsz onnan függőlegesen, hogy az x milyen számmal van megszorozva; most 3-mal, tehát mivel pozitív, felfelé lépsz, és 3-at. Ezt csinálod folytatólagosan.

Mivel ebben nagyon könnyen bele lehet kavarodni, ezért én azt a módszert szoktam preferálni, amit az 5-ös leírt, vagyis ábrázoljunk két pontot az egyenesről (a biztonság kedvéért lehet 3-at, 4-et, 5-öt, stb), és azokra fektetve egy egyenest kapjuk meg a képét.

Az x=4 egy egyenes egyenlete, de ez nem egy függvény grafikonlja.

[link]

Érdemes megtanulnod a következőket:

- függvény

- egyenlet

- kifejezés

- valós függvény grafikonka.

Ha ezt nem teszed, akkor össze-vissza fogsz beszélni a matematikáról.

57%

"f(x) = 4

g(x) = 3x - 4"

Igazad is lenne, ha az első egyenes egyenlete y=4 lenne. De nem az, hanem x=4.