Analízis: Mi a különbség a pontonkénti és az egyenletes konvergencia között?

A pontos definíciók elég jól le vannak írva angol nyelvű wikipédián, azokat nem ismétlem meg:

Egyenletes: [link]

Pontonkénti:

[link]

A lényeg az, hogy a pontonkénti x szerinti pontokban nézi a konvergenciát. Pl rögzítem, hogy x=2, Ekkor f_n(2) az egy közönséges sorozat, aminek meg tudom nézni a határértékét, hogy van-e, és mennyi. Ezt megteszem (persze általánosan, x paraméterként) minden x értékre.

Az egyenletes konvergenciánál azt nézem meg, hogy a feltételezett határfüggvény f milyen messze van az f_n függvénytől, az egész függvényre értelmezett távolsággal. (Ez általában a max norma, de mással is lehet értelme)

[link]

[link]

[link]

Pontonkénti és egyenletes konvergencia között az a különbség, hogy utóbbi esetben létezik x-től független küszöbindex, vagyis amellyel minden x-ben konvergens lesz a sorozat.

A feladat kitalálója minden bizonnyal úgy szándékozta, hogy a definícióhoz nyúlsz vissza, és rögzített epszilonra keresel egy küszöbindexet, amivel teljesül a konvergencia definiens kritériuma; a fent említett alapján ha ez független x-től, akkor a konvergencia egyenletes. Ezzel rögtön a pontonkénti konvergencia is eldől, de ugye azt műveleti azonosságokkal is azonnal el tudnánk dönteni.

De például a feladat 0-t is belevéve biztosan nem egyenletesen konvergens, mert a határfüggvény 0-ban 1, egyébként konstans 0, és folytonos függvények egyenletesen konvergens sorának összege folytonos, ezt tanulnotok kellett. Ez egy szükséges feltétel, ezt is tudod használni.