Mi a kör egyenlete, ha a kör középpontja (6;6) és az x^2+y^2=4 egyenletű körrel közös érintőjének irányvektora v (1;-1)?

A másik kör középpontja C(0;0). Ha felírjuk a két pont által meghatározott vektort, akkor a v(6;6) vektort kapjuk, ennek egyik normálvektora n(6;-6), és ha ezt osztjuk 6-tal (szorozzuk 1/6 skalárral), akkor az (1;-1) vektort kapjuk, ami azt jelenti, hogy a középpontok által meghatározott vektor és az adott vektor merőlegesek egymásra. Ez azt eredményezi, hogy a keresett érintő csak úgy létezhet, hogyha a két kör érinti egymást, és az érintő ezen az érintési ponton halad át.

Innentől a feladat megoldható lenne úgy is, hogy felírunk egy kétismeretlenes másodfokú paraméteres egyenletrendszert, ahol az a kérdés, hogy milyen pozitív paraméterre lenne az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása, ez így nézne ki:

{ x^2 + y^2 = 4

{ (x-6)^2 + (y-6)^2 = p

Eléggé hosszadalmas lenne ennek a megoldása, úgyhogy én mondanék egy kicsit egyszerűbbet; tudjuk, hogy ezek a keresett érintési pontok a középpontok által meghatározott egyenesre esnek, így elég csak annak az egyenesnek és az adott körnek a metszéspontjat megadni;

az egyenes normálvektora: (1;-1)

az egyenesen lévő egyik pont: (0;0)

ezek alapján az egyenes egyenlete: x-y=0

Tehát ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk:

{ x^2 + y^2 = 4

{ x - y = 0

Ez már egy eléggé egyszerűen emgoldható példa.

Ha megvannak a megoldáspárok, amelyek pontokat határoznak meg, akkor már csak annyi a dolgunk, hogy ezeknek vesszük a (6;6) ponttól mért távolságukat, ezek lesznek a keresett körök sugarai, így már minden adott lesz a kör egyenletének felírásához.

Ennél még egyszerűbben is meg tudjuk oldani, hogyha tudjuk, hogy ebben a speciális esetben

-ha a két kör kívülről érinti egymást, akkor a középpontok távolsága a két kör sugarának összege (r+R=D),

-ha a két kör belülről érinti egymást, akkor a középpontok távolsága és a kisebbik kör sugara a nagyobbik kör sugarát adják ki (D+r=R).