Teljes indukciós bizonyítás?

Az állítás n=1 esetén igaz.

Tegyük fel, hogy egy n>=1 esetén is igaz az állításunk, vagyis:

3^(n+2) + 4^(2n+1) ≡ 0 (mod 13)

Azt kell megmutatni, hogy ha az állítás n-re igaz, akkor n+1-re is igaz. Nézzük tehát az n+1-et:

3^(n+1+2) + 4^[2(n+1)+1] = 3*3^(n+1) + 16*4^(2n+1) =

3*3^(n+1) + (13+3)*4^(2n+1) = 3*[3^(n+1) + 4^(2n+1)] + 13*4^(2n+1)

A zárójelen belüli kifejezés osztható 13-mal, mert ezt feltételeztük az indukciónál. A 13*4^(2n+1) pedig nyilván osztható lesz 13-mal, mert a 4^(2n+1) egy egész szám (ha n egy természetes szám).

Elgépeltem bocsi, szóval:

3^(n+1+2) + 4^[2(n+1)+1] = 3*3^(n+1) + 16*4^(2n+1) =

3*3^(n+2) + (13+3)*4^(2n+1) = 3*[3^(n+2) + 4^(2n+1)] + 13*4^(2n+1)

de a lényeg remélhetőleg világos ebből.

Előző vagyok:

Ezt a feladadot ugyanis mindenki, akinek nem írták oda, hogy indukciót kell használni, így oldaná meg:

A háromhatványok 13-mas maradéka és a 4^(2n) alakú számok 13-as maradéka is 3 hosszú ciklusokban ismétlődik. Csak le kell ellenőrizni, hogy a 3-hosszú ciklusok a fenti kifejezésnél pont 13-ra egészítik ki egymást.