Hogy lehet bebizonyítani? Igazoljuk, hogy 7/2^ (5n+2) +3*5^2n
Teljes indukcióval szokás bizonyítani;
-először megnézed, hogy milyen egész n-ekre teljesül; elkezded n=0-val, aztán n=1-re, és így tovább, amíg nem találsz olyat, amire működik. Látható, hogy ez n=0-ra már igaz lesz.
Tegyük fel, hogy n-re igaz, vagyis 7|2^(5n+2)+3*5^2n, és nézzük meg, hogy n+1-re mi történik, tehát igaz-e, hogy 7|2^(5(n+1)+2)+3*5^2(n+1). A trükk az szokott lenni, hogy ezt úgy alakítjuk, hogy az indukciós feltevés megjelenjen, vagyis a 2^(5n+2)+3*5^2n, mivel erről tudjuk, hogy osztható 7-tel, így ami ezen felül marad, arról kell belátni, hogy osztható 7-tel, arról pedig általában nem nehéz belátni.
Nagyon köszi, hogy írtál, de a végét nem igazán értem...
Oké, hogy n=0ra kijön, de hogy lehet belátni, hogy a többi is osztható lesz 7tel
Ez esetben van a teljes indukciónál jóval könnyebb indoklás is:
n=0 könnyen ellenőrizhető
n>=1 esetén átalakítva:
4*32^n+3*25^n
ha ebből kivonunk 7*25^n-t, akkor a 7-tel oszthatóság nem változik (kongruensek):
4*32^n-4*25^n
mármost felhasználva az
a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1)+a^(n-2)b+...+b^(n-1)]
algebrai azonosságot, a kifejezés osztható (32-25)=7-tel, legalábbis n>=1 esetben
tehát az eredeti is osztható 7-tel az előbbiek okán
(sőt, a 28-cal való oszthatóságot is beláttuk n>=1 esetére)
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!