Segítenetek a következő feladat megoldásában? Tudva, hogy az ABC háromszögben teljesül a sin^2A+sin^2B+sin^2C>2 egyenlőtlenség, igazold, hogy a háromszög hegyesszögű.

Nézzük, mi a helyzet A<=B<C=90° esetén:

sin^2A+sin^2B+1 > 2, vagyis

sin^2A+sin^2B > 1

Azt biztosan tudjuk, hogy A+B=90°, tehát az egyik szög a másiknak pótszöge. Az ilyen szögekről azt tanultuk, hogy ami az egyiknek a szinusza, az a másiknak a koszinusza, vagyis sinB=cosA, tehát:

sin^2A+cos^2A > 1, a bal oldalon az azonosság értelmében 1 van:

1 > 1, ami nyilvánvalóan nem igaz, tehát a háromszög nem lehet tompaszögű.

C nem lehet tompaszög, mivel akkor az összeg minden tagja csökkenni fog ahhoz az esethez képest, amikor a legnagyobb szög derékszög volt; az biztos, hogy sin(tompaszög)<sin(90°)=1, a másik két szög szinuszára pedig adható egy olyan derékszögű háromszög, melynek minden szöge -így mindegyik szinusza- nagyobb lesz; például ha C=110°, B=60°, A=10°, akkor mondható a 90°;70°,20°-os szögekkel rendelkező derékszögű háromszög, ekkor sin(110°)<sin(90°), sin(60°)<sin(70°), sin(10°)<sin(20°), így értelemszerűen a szinuszok (négyzeteinek) összege is kisebb lesz, mint a derékszögű háromszög szögei esetén. Így tehát tompaszögű sem lehet a háromszög.

Marad az az eset, hogy hegyesszögű háromszög lehet-e, ehhez elég csak egy háromszöget mutatni, amely igazzá teszi a fenti egyenlőtlenséget. Erre a legegyszerűbb megoldás az A=B=C=60°, és készen is vagyunk, ugyanis az állítás csak azt mondja ki, hogy ha teljesül az egyenlőtlenség, akkor hegyesszögű háromszögről van szó, azt nem, hogy ezt az egyenlőtlenséget minden hegyesszögű háromszög teljesíti, vagyis attól még lehet egy háromszög hegyesszögű, hogy a fenti egyenlőtlenséget nem teljesíti. Annak bizonyítása egy másik történet.