Elvileg középsulis matek, de harmad- és negyedfokú egyenlettel kell számolni, hogyan gondolkodjak?

hu de bonyolult...

x^4 = 0

Az x^3=x egyenlet megoldható, szimpla kiemeléssel;

x^3-x=0

x*(x^2-1)=0

x*(x-1)*(x+1)=0, ennek megoldásai: x=-1, x=0 és x=1. Ezeket most helyettesítsük be a másik egyenletbe, és azt kapjuk, hogy az x=1 és x=-1megoldása lesz a másiknak is.

Tegyük fel, hogy a másik egyenlet harmadik gyöke b, ekkor felírható a tanultak szerint a gyöktényezős alakja: (x+1)*(x-1)*(x-b), ennek kell x^3+2x^2-x-2-nek lennie, tehát:

x^3+2x^2-x-2 = (x+1)*(x-1)*(x-b), kibontjuk a zárójeleket, de csak elég azokra koncentrálni, amikben nincs x, ekkor:

-2 = b, tehát ha van gyöke, az csak a -2 lehet, és láthatjuk, hogy az is.

Tehát nekünk egy olyan negyedfokú egyenlet kell, amelynek megoldásai a -2;1;0;1; számok, erre a megoldás:

a*[(x+2)*(x+1)*x*(x-1)]=0, ahol az a értéke tetszőleges nem nulla valós szám lehet.

____

Kicsit jobban szemügyre véve a másodikat, az is megoldható kiemeléssel; emeljünk ki az első két tagból x^2-et, a második kettőből (-1)-et:

x^2*(x+2) - (x+2) = 0, majd kiemelhető (x+2) is:

(x+2)*(x^2-1) = 0, ez pedig már megoldható könnyedén.

Középsulis matekban a másodfokúnál magasabb egyenleteket szinte mindig szorzattá alakítással oldjuk meg.

Ügyesen kell kiemelni, hogy csak első és másodfokú tagok maradjanak.

Első körben tfh, a megoldások egészek. Minden gyök osztója a konstans tagnak.

Ha nem jó, akkor próbálj szorzattá alakítani.