Hogyan kell ilyenkor megadni polinomnak a gyöktényezős alakját?

És ez világos?

[link]

4x⁴ - 4x² + 4x³ - 4x + x² - 1

Ezt úgy kapta, hogy a -3x²-et így írta: -4x² + x², ezután átcsoportosított.

Zárójelekkel:

(4x⁴ - 4x²) + (4x³ - 4x) + (x² - 1)

Az első zárójelből 4x²-et, a másodikból 4x-et kiemelve:

4x²(x² - 1) + 4x(x² - 1) + (x² - 1)

A zárójelekben ugyanaz van: x² - 1 = (x-1)(x+1), ezt is ki lehet emelni:

(x-1)(x+1)(4x² + 4x + 1)

A harmadik zárójelben is fel lehet ismerni egy azonosságot: 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)². Itt a zárójelből még ki lehet emelni 4-et: 4(x + 1/2)²

Tehát a megoldás:

4(x-1)(x+1)(x + 1/2)²

A polinomnak 1 a gyöke, ezért osztható (x-1)-gyel:

4x⁴ - 4x² + 4x³ - 4x + x² - 1 : (x-1) = 4x³ + 8x² + 5x + 1

Arra is rájöttél, hogy -1 is gyöke, ezért osztható (x+1)-gyel:

4x³ + 8x² + 5x + 1 : (x+1) = 4x² + 4x + 1

És ebben már felismerhetjük az azonosságot.

De hogy jött ki, hogy -1 is gyöke? Vagy próbálkozni kell, hátha egy kis egész szám megoldás, vagy átalakítani kell.