Hogyan igazolható deriválással, hogy az x^3 + px + q polinomnak pontosan akkor van többszörös gyöke, ha a diszkriminánsa 0?

Csak tipp:

Gondold végig a harmadfokú függvény grafikonjának alakját. Többszörös gyöke akkor lehet, ha valamelyik "hupli" (azaz lokális szélsőérték) az x tengelyre esik, a lokális szélsőérték felétele meg deriválással meghatározható. Én erre indulnék el.

Jól írta az első: kétszeres gyök pontosan akkor van, ha két "hupli"ja van a görbének, és az egyik érinti az x tengelyt. Ott van a dupla gyök.

Háromszörös gyök is érdekes. (x-a)³. Ilyen viszont x³+px+q alakú polinomnál (amiben nincs másodfokú tag) csak akkor lehet, ha p=q=0. Ez is egy megoldás. (A görbének egyébként ilyenkor nincs egy huplija se, de inflexiós pontja van, és ott metszi a tengelyt.)

A görbe alakjának van egy harmadik formája is: Ilyenkor nincs se huplija, se inflexiós pontja, végig pozitív (vagy negatív) a derivált. Ekkor csak egy gyöke lehet.

A diszkrimináns Δ = −4p³ − 27q²

p=q=0 esetén ez tényleg nulla, eddig rendben vagyunk.

A kétszeres gyökös esetben pedig:

A derivált: 3x² + p

A lokális szélsőértéknél ez nulla, ezért a két szélsőértékhely:

x = ±√(-p/3)

Ennek egyrészt léteznie kell, vagyis p<0 kell legyen, másrészt valamelyik szélsőértékhelynél az eredeti polinom 0 értéket kell felvegyen, hogy a görbe ott érintse a tengelyt:

x³ + px + q = 0

±√(-p³/27) ± p√(-p/3) + q = 0

±|p|√(-p/27) ± p√(-p/3) + q = 0

±|p|√(-p/27) ± 3p√(-p/27) + q = 0

Mivel p negatív, ezért |p| = -p, vagyis 2p√(-p/27) marad

±2p√(-p/27) + q = 0

A ± előjel a q előjelétől függően vagy a + vagy a - esetén adhat nulla összeget. Általánosságban:

-2p√(-p/27) = |q|

Mindkét oldal pozitív, mégyzetre emelhetünk:

-4p³/27 = q²

-4p³ - 27q² = 0

A bal oldal pont a diszkrimináns, tehát beláttuk az állítást.