Hogy lehet meghatározni egy sorozat vagy sor konvergenciáját/limitjét?

Nincs általános módszer. Illetve az általános módszer az, hogy gondolkozol, próbálkozol, aztán valahogy csak sikerül belátni, hogy konvergens vagy divergens, és ha nagyon ügyes vagy, akkor még azt is meg tudod mondani, hogy hova konvergál, de sok esetben már annak örülünk, hogy egyáltalán a konvergenciát be tudjuk látni. Tipikus példa az (1+1/n)^n sorozat, amihez egyéb praktikák szükségesek, hogy egyáltalán azt be tudjuk látni, hogy konvergál valahova, az pedig egy külön mutatvány, hogy e-hez.

Az általad linkelt példákban nincs semmi extra. Persze ha valaki nem járatos kellően a témában, akkor nem is tudhatja, hogy mit és hogyan érdemes nézni.

A sorösszegeknél nincs nagy varázslat; mindegyiket tudjuk addig variálni, amíg meg nem jelenik egy-egy mértani sorozat;

1) Ez a sorozat a la nature egy mértani sorozat összegét írja le; az első tagja gyök(2)-1 nagyságú, a kvóciens ugyanannyi. Mivel a kvóciens az ominózus (-1;1) intervallumba esik, ezért a sorozat konvergens, és azt is tudjuk, hogy az ilyen mértani sorozatok összegképlete a1/(1-q) (ha meg nem tudjuk, akkor felírjuk az a1*(q^n-1)/(q-1) képletet, ahol n->végtelen, így q^n->0, és ki tudjuk következtetni), így az összeg nemhogy konvergens, de még a pontos értékét is meg tudjuk adni, ami (gyök(2)-1)/(2-gyök(2)). Ha nagyon akarjuk ezt még szépíteni, akkor a nevezőt lehet gyökteleníteni, de nem muszáj.

2) Az ilyen alakú soroknál az a jól bevált trükk, hogy mindegyik kifejezést azonos kitevőre hozzuk;

2^(2n+1) = 2*4^n

2^(n+2) = 4*2^n

2^(3n) = 8^n, tehát a sorozatunk tagjai

(2*4^n - 4*2^n)/8^n

alakúak. Ha elvégezzük az osztást, akkor ezt kapjuk:

2*(4/8)^n - 4*(2/8)^n

Érthető okokból itt két mértani sorozat különbsége látható, ezekre külön-külön ráereszthető a mértani sorozat összegképlete (a fent említett a1/(1-q)), és ezek különbsége lesz a mértani sorozat összege.

3) Hasonlóan a 2)-eshez;

3^(n+1) = 3*3n^n, osztás után

3*(3/6)^n + (-1/6)^n

Itt is kétszer felírod a képletet, az eredményeket pedig öszevonod.

Sorozatok esetén alapvetően azt kell megsejtenünk, hogy konvergens vagy divergens sorozatról van-e szó, ehhez általában beírunk néhány tagot, aztán vagy meg tudjuk sejteni, hogy mi a helyzet vele, vagy nem; ha azt gondoljuk, hogy egy sorozat

-a végtelenbe tart, akkor valahogyan alulról kell becsülnünk, ezt azt jelenti, hogy keresünk egy olyan sorozatot, amely valamelyik tagjától kezdve végig kisebb lesz és az is végtelenbe tart, ekkor értelemszerűen a nála nagyobb csak végtelenbe tarthat.

-a -végtelenbe tart, akkor ugyanaz, mint fent, csak nem kisebb, hanem nagyobb sorozatot kell keresni.

-úgynevezett oszcillálva divergens, mint például a (-a)^n alakú sorozatok (ahol a értéke legalább 1) esetén két vagy több részsorozatra kell bontani, melyek külön-külön más-más értékhez konvergálnak, vagy épp az egyik része + végtelenhez, a másik része -végtelenhez, akkor értelemszerűen az egész nem konvergálhat egy értékhez (tétel: ha az a(n) sorozat konvergens, akkor az a(n) sorozatból képzett tetszőleges (végtelen sok tagból álló) részsorozat is konvergens, és ugyanahhoz az értékhez konvergál; ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy ha az a(n)) sorozatból elhagyunk valamennyi, akár végtelen sok tagot úgy, hogy a maradék is végtelen sok tagból áll, akkor a konvergencia tekintetében nincs változás).

-konvergens (akár oszcillálva), akkor több megoldási mód is lehet, jellemzően a rendőrelvet húzzák elő, vagyis két konvergáló sorozat közé beszorítják a sorozatot, így a közéjük eső sorozat is kénytelen konvergálni (fordítva nem mindig igaz, vagyis ha két konvergáló sorozattal beszorítható egy sorozat, akkor az nem mindig lesz konvergens; ez az állítás abban az esetben működik oda-vissza, hogyha a két "rendőr"sorozat határértéke megegyezik, ekkor viszont a harmadik sorozat határértéke is ugyanaz lesz).

An) Azt sejtjük, hogy ez a sorozat konvergens. Talán még azt is könnyen meg tudjuk sejteni, hogy a határérték 6. Ha sikerülne két olyan sorozatot találni, melyekre igaz, hogy egy bizonyos n után beszorítják ezt a sorozatot, és mindkettő 6-hoz tart, akkor már meg is vagyunk.

Alulról kézenfekvő, hogy ennedikgyök(6^n)-nel, vagyis 6-tal becsüljük. Nem nehéz belátni, hogy ez tetszőleges n-re kisebb lesz az eredetei sorozatnál. Felülről az ennedikgyök(6^n+6^n)=ennedikgyök(2*6^n) = ennedikgyök(2)*6 sorozattal tudjuk becsülni, ez minden n-re nagyobb az eredetinél és szintén 6-hoz tart. Ezek alapján az eredeti is ténylegesen 6-hoz tart, másra nincs szükségünk.

Bn) Az ilyen alakú sorozatoknál arra érdemes gondolni, hogy

Tétel: lim(ennedikgyök(n))=1. Ha ezt tudjuk, akkor

Tétel: ha p(n) polinomsorozat, akkor lim(ennedikgyök(|p(n)|))=1 is könnyen bizonyítható. Ennek megfelelően a Bn sorozat 1-hez fog tartani. Egyébként nem nehéz két rendőrt keresni hozzá, de tudni kell, hogy általában az ilyen sorozatok nem könnyen becsülhetőek olyan sorozatokkal, hogy az eredetinek minden egyes tagját beszorítsák, így fontos megérteni azt a kitételt, hogy csak bizonyos n-től érdekes a "felügyelet".

Cn) Ennél a 2-t sejtjük határértéknek. Alulról ennedikgyök(2^n)=2 jó lesz, felülről az ennedikgyök(2^n*n^2) megteszi, ez a fenti tétel miatt szintén 2-höz fog tartani.

Dn) Ez a sorozat két részsorozatra bontható;

(2n+1)/(n+1) és

(2n-1)/(n+1)

Nem egy ördöglakat levezetni, hogy mindkét sorozat 2-höz tart, így az eredeti is 2-höz fog tartani, még ha nem is szigorúan monoton módon.