Valaki segít egy rekurzív sorozat határértékében?

a(0) = √3

a(n+1) = √(3 + 2·a(n))

Ha a sorozatnak van határérték, ami A, akkor igaz lesz úgy is, ha a(n) valamint a(n+1) helyébe is A-t írunk a fenti képletben:

A = √(3 + 2A)

A² = 3 + 2A

amiből A=3 jön ki (a negatív megoldás nem lehet)

Még be kell látni, hogy van határértéke:

- Szigorúan monoton nő-e?

a(n+1) = √(3 + 2·a(n)) >? a(n)

3 + 2a(n) >? a²(n)

Megint csak a megoldóképlettel az jön ki, hogy -1 < a(n) < 3 esetén igaz a monotonság.

- Korlátos-e?

Tuti, hogy 3-mal érdemes próbálkozni, mint korláttal:

a(n) <? 3

Teljes indukcióval:

a(0) = √3 < 3, rendben.

Feltesszük, hogy a(n) < 3

a(n+1) = √(3 + 2·a(n)) < √(3 + 2·3) = 3

vagyis beláttuk, hogy a(n+1) < 3, ezért minden n-re teljesül az a(n) < 3.

Szóval szigorúan monoton és korlátos, ezért van határértéke, azt meg már láttuk, hogy az nem lehet más, mint a 3.

Szia!

Te okosnak tűnsz. Ránéznél a napkeltés feladatomra? Köszönö,