Munkáltató szóbeli megállapodás után e-mailt ír a részletekről?

Tegnap voltam egy állásinterjún, ahol meg is állapodtunk. Felvettek. Szóban elmondták, hogy mennyi lesz a fizetésem, mikor kezdek ilyesmi. Mivel másik megyeszékhelyen van a munkahely, így oda kell költöznöm. Ezért kértem, hogy a megállapodásról írjanak nekem egy e-mailt, hogy legyen valami kézzel fogható nyoma annak, hogy felvettek. Kicsit furcsának találták a kérésemet, de mondták, hogy oké. Abban állapodtunk meg, hogy kaptam három hetet arra, hogy lakást találjak. A jelenleg munkahelyemen pedig felmondok, telik a felmondási idő. Amint megvan a lakás és átköltöztem, bemegyek a cégbe és megírjuk a munkaszerződést, bejelentenek stb. Ilyen esetben normális dolog, hogy kértem, hogy küldjenek e-mailban egy üzenetet arról, hogy felvettek, meg hogy milyen feltelek mellett kell dolgoznom? A korábbi munkahelyem volt az első, bár oda évekkel ezelőtt vettek fel. Úgy emlékszem, hogy ott is küldtek egy e-mailt arról, hogy milyen feltételekkel dolgozom. Gondolom ez mindkét félnek biztosíték. Kellemetlen lenne, ha a munkaszerződés megkötésekor teljesen más fizetést mondanának, mint amiben megállapodtunk szóban. Úgy vagyok vele, hogy szó elszáll, írás megmarad.