Trigonometriában hogy van ez a tetszőleges szögre kiterjesztett szinusz, és koszinusz?

Valójában tényleg az; egy adott pontot úgy ábrázolunk, hogy a koordinátái szerint merre kell lépkedni az origóból. Például az A(3;4) pont esetén 3-at kell lépni jobbra és 4-et fel, a B(-2;-7) esetén 2-t balra és 7-et le, a C(0;5) esetén nem lépünk az x-tengellyel párhuzamosan, de 5-öt fellépünk.

Amikor elforgatjuk azt a bizonyos egységvektort, akkor az a vektor fog mutatni valami P pontba, és ennek a koordinátáit aszerint kell meghatározni, amit fent írtam; például ha elforgatjuk a v(1;0) vektort 30°-kal, akkor mennyit kell jobbra és fel lépni? Pontosan cos(30°)-ot jobbra és sin(30°)-ot fel (a pontból bocsáss merőlegest az x-tengelyre, ekkor kapsz egy derékszögű háromszöget, melynek átfogójának hossza 1 egység hosszú, így ki tudod számolni a befogók hosszát). Az összes többi pont koordinátái ezen gondolatmenet szerint határozhatóak meg (leszámítva azt a 4 esetet, amikor a tengelyekre érkezünk, ugyanis akkor nem képezhető derékszögű háromszög, de szerencsére ennek használata nélkül is meg tudjuk adni pontosan a koordinátákat).

"miért pont az első koordinátája a cos, a második pedig a sin?"

Mert ez a megállapodás, definíció szerint van így. Ilyen egyszerű. Mellesleg a cos-nak van mégjobb (általánosabb) definíciója, amit a skalárszorzatból származtatnak. De ebbe ne menjünk bele.

" a sin^2x-et hogyan értelmezzük mondjuk egy egyenletben?"

Ahogy a hatványt, szorzattal:

sinx*sinx.

"Mert ez a megállapodás, definíció szerint van így. Ilyen egyszerű."

És miért nem úgy definiálták, hogy az első koordináta legyen tg(Ł), a második meg sec(Ł)? Mert ha csak közmegállapodás kérdése, akkor akár így is lehetne...

"És miért nem úgy definiálták, hogy az első koordináta legyen tg(Ł), a második meg sec(Ł)? Mert ha csak közmegállapodás kérdése, akkor akár így is lehetne..."

Így van, lehetne akár így is.

Dehogynem... Az benne van, hogy miért nem tg(Ł) az első koordináta és sec(Ł) a második... És a kérdező ezt kérdezte.

Az nincs benne, hogy miért ez a jó konstrukció; azért, mert vannak bizonyos összefüggések, amiket szeretnénk egyszerűsíteni (például hogy ne 3-féle koszinusztételt kelljen megtanulni, hanem elég legyen csak egy), és ez a megközelítés pont lefedi az összes ilyet (és ez sem véletlen, és látható annak, aki nem csak a koszinusztételt használja ész nélkül a háromszög harmadik oldalának hosszának meghatározásához).

"Dehogynem... Az benne van, hogy miért nem tg(Ł) az első koordináta és sec(Ł) a második... "

Nincs benne.

"Az nincs benne, hogy miért ez a jó konstrukció"

Ebben az esetben nincs olyan, hogy "jó konstrukció". Több konstrukció is generálható, ezek egyenértékűek. Annyi van, hogy akkor jónéhány összefüggés módosulna, és mondjuk a tangenstétel népszerűbb lenne a cosinustételnél...