Miként lehet belátni, hogy a kör alapú ferde henger kiterített palástjának kerületvonala egy trigonometrikus (mondjuk szinusz) függvény?

Én azt látnám be, hogy a deriváltja micsoda a függvénynek.

Tudom hogy melyik vonalakból lesznek kiterítés után a "függõleges szakaszok", és akkor már csak azt kell meghatároznom, hogy ezek a vonalak (a hengerpaláston) milyen szögben metszik az alapkört.

Ezek a vonalak ugye párhuzamosak a térben (és egyenlõ nagyságúak), alattuk a kör érintõje "forog" egyenletes sebességgel.

Új ábra: adott egy vízszintes sík, egy nem merõlegesen döfõ egyenes az origóban, illetve az origóban "t" paraméter szerint forgó vízszintes vektor, ennek a szögét akarom meghatározni a ferdén döfõ egyenessel. Azt szeretném, hogy t függvényében "trigonometrikus" legyen.

Legyen a tér az x-y-z rendszer, a ferde egyenes irányvektora (a,b,c), a mozgó vektorom (sin(t),cos(t),0).

Ennek a skalárszorzata, vagyis a szög cosinusa a*sint + b*cost alakú.

.. ennek nem igazán örülök, mert én azt akartam, hogy a bezárt szög (amely kiterítés után az alapfüggvény deriváltjának és a függõleges egyenesnek a szöge) tangense, azaz az érintõ meredeksége legyen sinus-cosinus függvény, de, most azt kaptam, hogy a bezárt szög cosinusa ilyen.

Ha megértetted az ábrát, akkor talán végig tudod vinni, még az is lehet hogy azt kapod, amit szeretnél.

- - - - -

Egy másik ötlet lehet az, hogy észreveszed hogy az "eltolásvonalakra" (amely eltolással a térben megkapjuk az egyik körbõl a másikat) ha merõleges síkot állítasz, akkor ez a sík egy ellipszisben fogja metszeni a ferde hengert. (Hiszen a metszés az nem más, mint a körnek egy vetülete.) Tehát a ferde henger nem más, mint egy sima henger, csak elforgatva meg elaffinítva.

És akkor nincsen más dolgod, mint fogni a kedvenc egyenes hengeredet (pl: (sint,cost,z)), és elmetszeni a kedvenc ferde síkoddal (pl: z=x+y), beparaméterezni t szerint az alapkört, és megnézni hogy a metszés milyen magasan van. Aztán, ha trigonometrikus függvényt kapsz, akkormég megmutatni hogy ezt a függvényosztályt a térbeli affinitások megõrzik.

#1 vagyok, így már értem.

Szerintem a legegyszerűbb, ha tekintünk egy x,y,z koordinátarendszerben lévő, z-tengellyel párhuzamos szimmetriatengelyű egyenes hengert, amely fenéklapjának egyenlete (x-R)^2+y^2=R^2.

Ebből x=R +/- gyök(R^2-y^2).

Vegyünk egy, a hengert metsző, y tengelyt tartalmazó síkot, mely a hengert béta szögben metszi el.

Ennek egyenlete z=tg(béta)*x, beírva ebbe az előző képletet:

z=tg(béta)*[R +/- gyök(R^2-y^2)].

Most már tehát adott y-hoz ismerjük a keresett z metszeti magasságot.

Bevezetünk egy i(alfa) ívhosszfüggvényt, amely a fenéklap kerületét méri:

i(alfa)=alfa*R.

A kérdés most már csak a z(i) fv, hiszen ez volt az eredeti kérdés.

Mivel R=i/alfa, ezért:

z=R*tg(béta)*[1-cos(i/R)].

Megjegyzendő, hogy +/- ból a + azért hagyható el, mert ívkoordinátát vezettünk be, a két félkör így "egyesítve" egyetlen fv.-el írható le.

Bónusz feladat: Tekintsünk két azonos átmérőjű hengert, amelyek merőlegesek egymásra (nem kitérők a szimmetriatengelyek).

Ismeretes, hogy a hengerfelület síkba lefejthető.

Adjuk meg a hengerpalást felületek kiterítésével kapott áthatási görbe egyenletét!

Különösen érdekelne #5 válasza, hogy állna hozzá a példához.

Korrigálnom kell magamat, amiket írtam az csak egyenes hengerek ferde metszését, és nem ferde hengerek kiterítését vizsgálja.

Ez utóbbi valószínûleg nem adható meg trigonometrikus függvényekkel. Eleve az ellipszis teljes ívhossza sem adható meg semmilyen elemi függvénnyel, akkor, gondolom, ívhossz szerint sem lehet szépre paraméterezni konkrét függvénnyel, ezáltal trigonometrikus függvénnyel sem.