Meg lehet adni bijekciót a valós számok halmaza és 2^N között?

Van rá tétel, hogy létezik bijekció. Ha konkrétan meg akarod csinálni, az marha macerás, nem emlékszem, hogy mi végül összeraktuk-e, vagy megelégedtünk azzal, hogy van.

Nagyjából úgy lehet szerintem megcsinálni, ha a 01 sorozatokat kettes számrendszerbeli számokként értelmezed, aztán megoldod a végtelen sok 0-ra és végtelen sok 1-re végződő számok kétértelműségi problémáját. Mivel ezek megszámlálható sokan vannak, a végtelen szállodához hasonló ötlettel ki lehet javítani a konstrukció hibáját. Mindezek előtt még meg kell feleltetned a (0,1) pontjait az összes valós számmal, de az könnyű.

Amúgy a "létezik" meg a "meg lehet adni" nem ekvivalens, utóbbi esetben ugyanis véges sok papírra ki kell férnie :-) Előbbi esetben lehet végtelen hosszú a definíció.

A valós számok halmaza végtelen, adott N esetén a 2^N hosszú sorozatokból nincs ennyi.

Ha megengedjük azt, hogy akármilyen hosszú, de véges sorozatokat lehet használni, akkor sem lehetséges a bijekció, hiszen így is megszámlálható végtelenhez jutunk. Írjuk csak a nemnegatív egész számokat kettes számrendszerbe, és előáll minden véges nulla-egy sorozat.

Ha nem kell végeseknek lenniük a sorozatoknak, akkor a dolog megy. A kettes számrendszer nem igazán működik, mert itt már nem egyértelműek a kettes számrendszerbeli alakok. És még nem törődtünk azzal sem, hogy a valós számokból nulla és egy közötti számok legyenek.

De kiindulásként működik a binárisnak megfeleltetés, csak ki kell javítani a hibáját.

Valós számokból (0,1): tekintsünk egy vízszintes valós számegyenest, és fölötte egy nyílt 1 hosszúságú félkörívet súlypontjával lefelé (mint egy csészevonal). A félkörívre vegyük fel a (0,1) számokat (értelemszerűen, mintha a (0,1) szakaszt görbítenénk meg). A félkörív középpontjából vetítsük az egyenesre a pontokat, ezzel megkapjuk a kívánt bijekciót.

(0,1) és egy irányban végtelen hosszú 0-1 sorozatok: a 0-1 sorozatokat tekintsük bináris számnak (ha a sorozat xxxxx...., akkor a 0,xxxxx.... bináris számot tekintjük). Minden egyes (0,1) közötti irracionális számhoz egy sorozat tartozik most, a végtelen alakú racionálisakhoz is. A véges alakú racionálisak azonban problémásak, mindegyikhez két 0-1 sorozat tartozik, egy végtelen sok 0-ra végződő (a véges alakjuk) és egy végtelen sok 1-re végződő (a végtelen alakjuk), továbbá ide vesszük a 000000.... sorozatot, mert a 0 nem része a (0,1)-nek, ezért a 0000000.... sorozatnak sincs párja.

Mivel megszámlálható sok problémás számunk van, és mindegyikhez két 0-1 sorozat tartozik (plusz a 000000.... sorozat), a problémás 0-1 sorozatokból is megszámlálható sok van. Házi feladat: adjunk mindkettőhöz felsorolást, hiszen ez megszámlálható halmazoknál megtehető, és feleltessük meg őket egymásnak a sorrendet követve.

A problémás számok a véges kettedestörtek, amelyek tört alakban kifejezhetők úgy, hogy nevezőjük kettő hatványa. Egy lehetséges felsorolás:

0, 1; 1/2; 1/4, 3/4; 1/8, 3/8, 5/8, 7/8; ...

Maradt ki valami?