Utoléri-e a faktoriális a hatványtornyot?

Indukciót akarunk alkalmazni. A sima egyenlőtlenség nem elég az indukcióhoz.

Ezért nem csak azt tesszük fel hogy a_i > b_i (az i-edik ilyen egyenletben a bal és jobboldal), hanem azt, hogy a_i > f(b_i), ahol f valami elég gyorsan növő függvény, és azt fogja kifejezni, hogy a baloldal _sokkal_ nagyobb a jobboldalnál, és ebből fogjuk megmutatni, hogy a következő egyenletre is igaz, hogy a baloldal _sokkal_ nagyobb a jobboldalnál.

Indukció:

tegyük fel, hogy az i-edik lépésben

: a_i > f(b_i).

Ebből kell nekünk az, hogy

: e^(a_i) > f[(b_i)!].

Kihasználjuk az indukciós lépést:

: e^(a_i) > e^f(b_i) ??? f[(b_i)!].

Tehát elég egy olyan f függvényt találnunk, amire egyrészt

e^f(b_i) > f[(b_i)!] teljesül, másrészt az indukciós kezdőlépés is teljesül.

Az f = x^2, és i=2 ilyen,

hiszen

: e^(e^e) > (3!)!^2

és

: e^(x^2) > (x!)^2, ha x>2