Mire jók a komplex számok?

Még pluszként:

[link]

[link]

"Ez olyan, mint mikor a hortobágyi szürke marha megkérdezi: mire jó a többi néggyel szembefordítható hüvelykujj?"

És akkor megmondod neki, hogy azzal tudnád facán megfogni a hátvakarót és érteni fogja, milyen jó is az. :D

Hát eredetileg csak a matekosok izmoztak vele, hogy nehogymá' ne legyen egy n-ed fokú egyenletnek mindig n gyöke. Kitaláltak egy, a valós számegyenesre merőleges számegyenest, mondták, hogy ott az egység a gyök mínusz egy, már meg is van. Aztán hogy kidolgozták ennek a matekját, rájöttek, hogy lehet használni több hullámmozgással kapcsolatos dologra, ahol kell még egy dimenzió. Komplex impedanciánál a hullám maga a váltóáram, a plusz dimenzió meg az eredő hullámfázis kiszámolásához kell.

Kvantummechanikában meg ugye olyan függvény kell, aminek az amplitúdó-négyzete a megtalálási valószínűség. A komplex számkörben lehet csak úgy rezegni, hogy közben végig konstans az amplitúdó. Ha egy állóhullámot nézünk, akkor a "valós" hullámoknál van olyan fázis, amikor a kitérés épp nulla, a részek sebessége meg maximális. Ha a hullámfüggvény valós függvény lenne, akkor a részecske hol eltűnne (0 megtalálási valószínűség) hol megjelenne (1 megtalálási valószínűség, ha a teljes térrészre integráljuk.). Ezért kell komplex függvénnyel modellezni, mert a valóságban a megtalálási valószínűség konstans. De hogy az elektron hogy csinálja ezt, hogy a képzetes számtérbe rezeg, hát a fene tudja :)

"annak sem értettem a fizikai jelentését"

Így utólag azért az illetékes tanárodnak adhatunk egy taslit. :)

Azért sok gyakorlati alkalmazás sorolható fel, és nemcsak a villamosságtannál. Gépészmérnöki oldalról mondom, hogy Pl. áramlástanban is egy ideális szárnyprofil meghatározásában jelentős szerepe van a komplex számoknak, de inkább a komplex függvénytannak. Nézz utána pl. a Zsukovszkij-transzformációnak.

Ezenkívül számos szabályozás -és irányítástechnikai rendszerekben találkozhatunk komplex számokkal és komplex függvénytannal. Aki hallott a Fourier -és Laplace transzformációkról, az tudja miről beszélek.

De számtalan mechanikai alkalmazást is tudnék felsorolni, ahol a komplex számokkal való műveletek elkerülhetetlenek. Pl. a lengéstanban a sajátkörfrekvenciák meghatározásánál is kellenek a komplex számok. Gyakorlat tekintetében ez legtöbbször a modális analízishez köthető, amikor is kísérleti úton egy gépészeti berendezés modális paramétereinek a meghatározása történik. Ennek matematikai háttere az FFT (Fast Fourier-transform) azaz gyors Fourier-transzformáció. Hát hogy mitől gyors, az egy külön kérdéskiírást is megérdemelne, most erről csak annyit, hogy programozástechnikai szempontból ez nagyon előnyös. De hát aki ottthon van a témában, az biztosan hallott már arról, hogy mintavételezés, ablakozás, Nyquist-frekvencia, Shannon-féle elv stb.

Az előzőekben említett Fourier, Laplace stb. transzformációk mind jó gyakorlati alkalmazások, amiknél egyszerűen az által, hogy komplex számokra tértünk át, sok minden számolás varázsütésre egyszerűbbé vált. Szerintem azt kérdezed, hogy ez miért van így? Hagyjuk azokat, nézzünk egy sokkal egyszerűbb problémát, aminél komplexbe váltva egyszerűsödik a megoldás:

A feladat egy diofantoszi egyenlet, amivel nemrégiben találkoztam és a megoldása nagyon tetszett. Remélem, neked (nektek) is tetszeni fog:

Milyen egész számokra van megoldása az

x³ = y²+1

egyenletnek? (Triviális, hogy x=1, y=0 megoldás, de van-e több?)

----

Komplex számokkal így tudunk elindulni:

x³ = (y+i)(y-i)

Az úgynevezett Gauss egészek körében fogunk dolgozni, ami elnevezésben nem kell semmi bonyolultra gondolni, annyi csak, hogy a komplex szám valós és képzetes részében is egész számok vannak.

Legyen y+i és y-i egy közös osztója δ.

Mivel δ osztja mindkettőt, osztani fogja a különbségüket is:

δ | (y+i)-(y-i) = 2i

Ami azt jelenti, hogy δ ezek közül valamelyik lehet: 1, 2, i, 1±i (és persze ezek negáltjai). Az (y+i)(y-i) szorzattal δ² jön be. A komplex számkörből ezzel visszatérünk a valósba, úgyhogy nézzük |δ²| lehetséges értékeit: ez 1, 2, 4.

Nézzük meg, hogy |δ²| lehet-e páros? Ha igen, akkor x páros lesz, ezért

x ≡ 0 (mod 4)

x³ = y²+1 ≡ 0 (mod 4)

→ y² ≡ -1 ≡ 3 (mod 4)

Viszont a négyzetszámok 4-es modulója csak 0 és 1 lehetnek (ez könnyen ellenőrizhető), ezért ellentmondásra jutottunk.

Tehát |δ| = 1 lehet csak, vagyis y+i és y-i relatív prímek. Most megint visszatérünk a komplex számokhoz: y+i és y-i szorzata x³, ami csak úgy lehet relatív prímeknél, ha y+i és y-i is köbszám, Elég csak az egyiket nézni:

y+i = (m+ni)³ = m³ + 3m²ni - 3mn² - n³i

ahol m, n ∈ ℤ

Ezt az egyenlőséget bontsuk szét a valós és képzetes részek egyenlőségére, ezzel megint visszatértünk a valósakkal való számolásba:

y = m³ - 3mn² = m·(m² - 3n²)

i = (3m²n - n³)i = n·(3m² - n²)·i

→ 1 = n·(3m² - n²)

Ez az utóbbi egyenlet azt jelenti, hogy n = 3m²-n² = ±1. Gyorsan kijön, hogy ennek +1 esetén nincs, csak -1 esetén van egész megoldása: n=-1, m=0.

Mindez azt jelenti, hogy y = m·(m² - 3n²) = 0 és x³ = y²+1 = 1, tehát x=1.

Tehát a triviális megoldás az egyetlen megoldása az egyenletnek.

----

A feladatot meg lehet oldani elemi módon is (komplex számok nélkül), pl. úgy, ahogy itt található:

[link]

aminek a lényege, hogy először egy hosszas bizonyítással belátja azt a segédtételt, hogy a

3a⁴+3a²+1 = b²

diofantoszi egyenletnek egyedül a=0, b=±1 a megoldása.

Utána modulo 3-ban dolgozik az eredeti x³=y²+1 egyenlettel. A fenti linken nem írja, de kihasználja azt, hogy y²+1 ≡ 0 (mod 3) nem lehet, valamint azt, hogy x³ ≡ x (mod 3), ezért csak az x ≡ 1 és x ≡ 2 (mod 3) eseteket kell nézni. Ebből is csak az 1-et nézni, amikor az y²=(3z+1)³-1 egyenletet vissza lehet vezetni a segédtételre. Így a bizonyítás hiányos maradt, az x=3z+2 esettel is bizonyára hasonlóan kellene foglalkozni, egy másik segédtétel bizonyítása után.

Szóval elemi eszközökkel a levezetés nagyon hosszadalmas, komplex számokkal viszonylag egyszerű.

(Más elemi bizonyítást nem találtam, bár lehet, hogy van. Ha valaki tud olyat, küldje már el...)