A modulo kiterjeszthető komplex számokra?

Sztem ehhez véges gyűrű szükséges (ebben nem vagyok biztos).

Az a kérdés, hogy lehet-e maradékosztályokat alkotni.

A maradékosztályok ugye faktorcsoportok valamilyen normálosztóra nézve, ami azt jelenti, hogy az elemek osztályokba sorolhatók, ahol az azonos osztálybeli elemek ekvivalensek abból a szempontból, hogy a különbségük a nullelem.

Így minden osztály reprezentálható egyetlen elemével, ezek a természetes számok esetén a maradékok.

Mármost ugye a komplex számok testet, és emiatt gyűrűt is alkotnak.

Talán az egész együtthatós komplex számok körében működik. De nem akármi lehet az osztó.

Pl. legyen az osztó az 1+i. Ekkor a maradék nem feltétlenül lesz egész együtthatós, emiatt nem lesz zárt gyűrű.

Gauss-egészeknél esetleg?

Valós számokon a törtrészhez hasonlóan lehetne definiálni. Viszont az algebra pedig erre azt mondaná, hogy hohó, minden valós szám osztható minden valós számmal, kivéve nullával, úgyhogy ennek semmi értelme.

Komplex számokon pedig vajon mennyi maradékot adna i 6-tal osztva? És 6i? És 5i + 5? Az algebrát az előzőek után már nem érdemes megkérdezni, a komplex számok is testet alkotnak, így a helyzet ugyanaz, mint az előbb. De anélkül is értelmezhetjük úgy, hogy i 6-tal osztva i-t ad, 6i 0-t, 5i + 5 5i + 5-öt.

Az algebristának erre a Gauss-egészek jutnak eszébe, de erre rögtön előkerülnek az Eisenstein-egészek is, úgyhogy ezekre külön ki kellene térni. És a többi véges bővítése Z-nek?

Kiterjeszthető, szokták is...

Egészekre a modulo definíciója ez:

a mod b = a - b·(a div b)

ahol "a div b" az a/b hányados egész részét jelenti.

(#2: Valósakra is ki szokták terjeszteni pont ugyanígy: "a div b" egész lesz, "a mod b" pedig tipikusan nem egész, ahogy a fenti összefüggésből kijön.)

De maradjunk még kicsit az egészeknél: "a div b" nem egyértelmű, hogy mit jelent akkor, ha a két szám nem azonos előjelű. Szokták úgy is csinálni, hogy -5 div 2 = -2, de úgy is, hogy -5 div 2 = -3. Az első esetben a maradék -1, a másodikban +1. Az euklideszi osztásnál a maradék mindig pozitív.

Szóval nem komplex esetben a/b-nek két egész szomszédja van, és azt a szomszédot választjuk "a div b"-nek, amivel a maradék pozitív vagy nulla lesz.

Komplex számoknál a/b-nek 4 Gauss-egész szomszédja van. (Pl. 1.6-2.3i somszédai 1-2i, 2-2i, 1-3i, 2-3i) Ott nem tudunk a szerint választani, hogy a maradék pozitív legyen, valami mást kellett kitalálni. Az a megoldás, hogy "a div b" a 4 szomszédos Gauss-egész közül az, amelyik legközelebb van a hányadoshoz (ez a távolság legfeljebb √2/2 egyébként). Az előző esetben pl. ez a szám a 2-2i.

A modulo meg annyi, ami a fentebbi összefüggéssel kijön.