Létezik olyan faktoriális (N! ) ami előáll két egymás utáni egész szorzataként (M* (M+1) )? Tétel, sejtés, bármi ezzel kapcsolatban létezik az irodalomban?

A két szám között tehát egyenlőség áll fenn.

Bontsuk gyöktényezőkre az n!-t és az m és (m+1) számokat, a prímek értelemszerűen a megfelelő hatványaikkal. Pl 5! = 2^3*3*5.

Itt tehát az egyenlet mindkét oldalán prímek szorzatai állnak. Mégpedig az első k darab prím úgy, hogy közülük a legnagyobb legfeljebb n lehet. Ezeket kell úgy csoportosítani, hogy a kettő hatvány az egyik számhoz tartozzon, míg a többit úgy kell a két számhoz hozzárendelni, hogy a szorzat két egymás utáni számot adjon.

Ez a 2 és 3 esetén lehetséges, hiszen 2*3=6, ugyanakkor 1*2*3=3!=6.

Minden más esetben m=x1*x2*…xk és (m+1)=y1*y2*…ys gyöktényezők közül bármelyik kettő távolsága >=2, és ezért semmiféle szorzatkombinációval nem lehet két egymás utáni számot kihozni.

Megjegyzés: n növekedésével a faktoriális értéke (n/e)^n nagyságrendű, a kereset szám pedig ennek gyöke közelében lenne. Ilyen nagy számok esetén a páratlan szám felbontásában mindig szerepelni fog p>n prím, ami az egyenlőséget kizárja. Azzal nem érdemes kísérletezni, hogy „de pj<n prímekből is össze lehet rakni bármekkora számot”. Igen lehet, de a másik szám, (+/- 1) értékel tér el, ekkor ott lesz p>n prím. Ráadásul ezekből képezni kell az összes i=<n számot is, hogy a faktoriális előálljon.

"Minden más esetben m=x1*x2*…xk és (m+1)=y1*y2*…ys gyöktényezők közül bármelyik kettő távolsága >=2, és ezért semmiféle szorzatkombinációval nem lehet két egymás utáni számot kihozni."

Ez hülyeség, 2*7 = 14, 5*3 = 15.