Létezik olyan faktoriális (N! ) ami előáll két egymás utáni egész szorzataként (M* (M+1) )? Tétel, sejtés, bármi ezzel kapcsolatban létezik az irodalomban?

"Pont, hogy ha létezik ilyen felbontás, akkor legalább az egyik nagyobb kell legyen n-nél."

Ja értem. Igen, igazad van, zsákutcába mentem be.

#9:"m és m+1 relatív prímek. Azaz egyszerre csak az egyikük lehet 2-vel osztható, 3-mal osztható, 5-tel osztható"- Ez igaz.

"Emiatt, ahogy #8-ban írtam az összes páros számnak egy oldalra kell kerülnie. De ez igaz az összes 3-mal osztható számra is."

Ez így nem igaz. Az összetett számok 2-es, 3-as, ... prímtényezőinek kell egy oldalra kerülni, nem az egész összetett számnak. Vagyis:

n! = 2^k1 * 3^k2 * 5^k3 * ... tényezői (prímhatványok) nem szétbonthatóak, hanem kompletten vagy m-hez, vagy m+1-hez kerülnek.

De a végkövetkeztetés tényleg az, hogy nagyon kicsi a valószínűsége annak, hogy létezik ilyen n>3 szám.

N=2-re és N=3-ra igaz. Azt kell megmutatni, hogy

N>3 esetén nem igaz.

Az N! az összes szám szorzata N-ig.

Ha M<N, akkor az N!-ban szerepel M*(M+1) és még más egynél nagyobb számok, tehát az egyenlőség nem lehetséges.

M=N-re triviális.

M>N esetén M és M+1 gyöktényezőkre bontható. Ezeknek (és N-nél kisebb szorzatuknak) ki kell adniuk az összes számot N-ig, és mindegyik egyszeresen fordulhat elő, továbbá nem hiányozhat egy szám sem, ami lehetetlen.

Egy kicsit más nézőpontból megnézhetjük, hogy az n! = m*(m+k) egyenlőség milyen LEGKISEBB k esetén teljesül:

(úgy, hogy m és m+k rel. prímek)

n; n!; m; m+k; k; p.hatv.-felbontás

5; 120; 8; 15; 7; [8, 3, 5]

6; 720; 16; 45; 29; [16, 9, 5]

7; 5040; 63; 80; 17; [16, 9, 5, 7]

8; 40320; 128; 315; 187; [128, 9, 5, 7]

9; 362880; 567; 640; 73; [128, 81, 5, 7]

10; 3628800; 1792; 2025; 233; [256, 81, 25, 7]

11; 39916800; 6237; 6400; 163; [256, 81, 25, 7, 11]

12; 479001600; 18711; 25600; 6889; [1024, 243, 25, 7, 11]

13; 6227020800; 78848; 78975; 127; [1024, 243, 25, 7, 11, 13]

14; 87178291200; 292864; 297675; 4811; [2048, 243, 25, 49, 11, 13]

15; 1307674368000; 1103872; 1184625; 80753; [2048, 729, 125, 49, 11, 13]

16; 20922789888000; 4465125; 4685824; 220699; [32768, 729, 125, 49, 11, 13]

17; 355687428096000; 17661952; 20138625; 2476673; [32768, 729, 125, 49, 11, 13, 17]

18; 6402373705728000; 71049069; 90112000; 19062931; [65536, 6561, 125, 49, 11, 13, 17]

19; 121645100408832000; 303046029; 401408000; 98361971; [65536, 6561, 125, 49, 11, 13, 17, 19]

20; 2432902008176640000; 1414538125; 1719926784; 305388659; [262144, 6561, 625, 49, 11, 13, 17, 19]

n=30 esetén k=1078746929069189

n=40 esetén k=21649042970861890002929

n=50 esetén k=613325497963496948047820147441

Szóval k iszonyatosan nő, (ha nem is monoton,) de elég nehéz elképzelni, hogy egyszer még pont 1 lesz! :D

Szerintem ez egyáltalán nem gyors növés.

És elképzelni sem tudom, hogy mi célból írtad ezt ide.