Hogyan lehetne bizonyítani az alábbi állításokat?

1) Ha egy páros számhoz 2-t hozzáadunk, akkor az összeg is páros lesz. Ez azért van, mert a paritás csak az utolsó számjegytől függ, és ha megnézzük az összes szóba jöhető esetet:

0+2=2, páros

2+2=4, páros

4+2=6, páros

6+2=8, páros

8+2=10, ennek az utolsó számjegye lesz az eredmény utolsó számjegye, vagyis 0, ami szintén páros. Tehát a 2 és egy másik páros szám összege mindig páros.

Most vegyünk két páros számot, legyenek ezek k és l, tehát azt állítom, hogy k+l páros. Mivel l páros, ezért felbontható 2+2+2+...+2 alakra, tehát a k+2+2+2+...+2 összeget kapjuk; k+2 értéke páros a fentiek szerint, k+2+2 értéke szintén, és az összeadást az utolsó kettesig elvégezzük, és mindig páros számot kapunk. Mivel k+2+2+2+...+2=k+l, ezért k+l is szükségszerűen páros.

2) A tematika ugyanaz, mint 1)-ben, csak k-2-2-...-2-re kell eljátszani.

3) Ha egy páratlan számból 1-et elveszünk, akkor páros számot kapunk;

9-1=8, páros

7-1=6, páros

5-1=4, páros

3-1=2, páros

1-1=0, páros, és ugyanígy működik a történet akkor, ha 1-et hozzáadunk.

Legyen megint a két számunk k és l, tehát k+l paritása a kérdés. Vegyünk el k-ból 1-et, majd amit elvettünk, azt adjuk hozzá l-hez, tehát a (k-1)+(l+1) összeget kapjuk, ahol a fentiek értelmében k-1 és l+1 is páros. Az 1)-ben kitárgyaltak miatt ez az összeg páros lesz, és mivel ez megegyezik k+l-lel, ezért k+l is páros lesz.

4) Gyakorlatilag ugyanaz, mint a 3)-as, csak mínusszal.

5) Írd fel itt is az összes szóba jöhető esetet;

1+2=3, 1+4=5, 1+6=7, ..., 9+8=17, ennek a végződése 7, tehát mindig páratlan lesz az összeg. Különbségre ugyanígy.

6) Itt is lehet, tehát 0+1=1, stb., különbségre szintén, de ez az állítás egyenes következménye az 5)-ösnek, mivel két szomszédos szám közül az egyik mindig páros, a másik mindig páratlan.

Egy szám akkor páros, ha az osztója a 2.

(m és n mindenhol egész számok.)

1) 2m + 2n = 2(m+n), ez egyértelműen osztható kettővel.

2) 2m - 2n = 2(m-n), ez is osztható kettővel.

3) (2m + 1) + (2n + 1) = 2 (m+n) + 2 = 2(m+n+1), ez is osztható kettővel.

4) (2m + 1) - (2n + 1) = 2 (m-n), ez is osztható 2-vel.

5) (2m) + (2n+1) = 2(m+n) + 1, ez biztosan nem osztható 2-vel

6) összeg: m + (m+1) = 2m + 1, ez sem osztható 2-vel.

különbség: (m+1) - m = 1, az 1 páratlan.