Igaz az egyenlőség? Ha igen, hogyan lehetne bizonyítani?

Jah, semmi… Azt mondják, én alapjáraton rosszabb vagyok.

Azt úgy kell, hogy… Írjuk fel a jobb oldalt:

(a – b)*(a^(n–1) + a^(n–2)*b^1 + … + a^1*b^(n–2) + b^(n–1)).

A szorzás disztributív az összeadás felett, tehát bármely x, y, z számokra (x + y)*z = x*z + y*z. Ez egy axióma, amit bizonyítás nélkül elfogadunk (a szemléletes jelentését később részletezhetem, ha gondolod). Legyen most x = a, y = –b és z = (a^(n–1) + a^(n–2)*b^1 + … + a^1*b^(n–2) + b^(n–1)). Ekkor a fenti kifejezés így írható:

a*(a^(n–1) + a^(n–2)*b^1 + … + a^1*b^(n–2) + b^(n–1)) –

– b*(a^(n–1) + a^(n–2)*b^1 + … + a^1*b^(n–2) + b^(n–1))

A szorzás kommutativitása miatt (ami szintén axióma) z*(x + y) = z*x + z*y lesz, tehát z = a, x = a^(n – 1) és y = a^(n–2)*b^1 + … + a^1*b^(n–2) + b^(n–1) választással a kisebbítendő az előbbi kifejezésben

a*a^(n–1) + a*(a^(n–2)*b^1 + … + a^1*b^(n–2) + b^(n–1)).

Itt a második taggal hasonlóan járhatunk el, mint az előbb a kisebbítendővel, sőt a kivonandóval is, így a hosszú zárójelektől megszabadulhatunk. Tehát az eredeti kifejezés

a^n + a^(n–1)*b^1 + a^(n–2)*b^2 + … + a^2*b^(n–2) + a^1*b^(n–1) –

– b^1*a^(n–1) – b^2*a^(n–2) – … – b^(n–2)*a^2 – b^(n–1)*a^1 – b^n.

Ha megnézed, itt a (majdnem) egymás felett levő tagok éppen egymás ellentettjei, a szorzás kommutativitása miatt, és az összeadás kommutativitása miatt egymás után rendezhetők, tehát mikor a műveleteket végezzük, akkor

a^n + 0 + 0 + 0 + … + 0 – b^n = a^n – b^n

lesz a vége. Mivel az '=' ekvivalencia reláció, tranzitív és szimmetrikus, tehát

a^n – b^n = (a – b)*(a^(n–1) + a^(n–2)*b^1 + … + a^1*b^(n–2) + b^(n–1)).

Ennyi a bizonyítás nagyon túlrészletezve. (Persze még lehet jobban is részletezni…)