Ha a Föld hirtelen megállna a Nap körüli pályáján, mennyi idő alatt zuhanna bele a Napba? Mekkora sebességgel ütközne össze a két égitest?

miert allna meg??????????????

f-gravitácios erotorveny

m*a=f

v=a*t

aszem ezek alapjan kijon

- lehet h nem grav erotorveny, de akk hasonlo

remelem segitettem

Ugye kicsit számít az, hogy a pálya melyik pontján áll meg a Föld, mert nem mindig ugyanolyan távol van, de ki fogom számolni paraméteresen, hogy adott távolságból mi az eredmény, és aztán mindenki azt helyettesít, amit akar.

A sebesség az aránylag egyszerű:

Tudjuk, a gravitációs potenciált a hely függvényében, tudjuk, hogy milyen messze van a Föld a Nap középpontjától, mikor elindul, azt is tudjuk hogy R + r távolságra lesz, mikor ütközik, és azt is, hogy kezdetben a kinetikus energia 0, másmilyen energiánk pedig most nincs. Szóval energia megmaradás:

Em0 + Eg0 = Em1 + Eg1,

0 – γ*M*m/a = 1/2*m*v^2 – γ*M*m/(R + r),

ahol a a Föld távolsága a Nap középpontjától ott, ahol megállt, v a kérdéses sebesség, γ a gravitációs állandó, a többi a szokásos, azzal a kiegészítéssel, hogy a nagy betűk a Napra, a kicsik a Földre vonatkoznak. Ebből

v = gyök(2*γ*M*(1/(R + r) – 1/a)) kb. 610 km/s.

[link]

Az idő kicsit komplikáltabb lesz…

0. körben, középsulis módszerekkel:

A Földet és a Napot pontszerűnek tekintve, a Föld tömegét elhanyagolva, alkalmazhatjuk Kepler törvényeit az egyenes szakaszon zuhanást elfajuló fél ellipszisnek tekintve. (Ugye a bolygók a pályájuk naptávoli pontjáról a napközeli pontba ugyanannyi idő alatt érnek el, mint fordítva.) Ezen ellipszis egyik fókuszpontja a végpont, ott van a Nap, és a másik végpontból indul a Föld, tehát a nagytengely a Föld–Nap-távolság lesz, jelöljük ezt a1-gyel. Tudjuk, hogy a Föld pályájának nagytengelye most közelítőleg kétszer ekkora, a0 = 2*a1. Tudjuk, hogy most a keringés periódus ideje T0 = 1 év. A szakaszon ide-oda mozgás periódus T1 periódus idejére Kepler III. törvénye szerint:

T0^2/T1^2 = (a0/a1)^3 = (2*a1/a1)^3 = 2^3 = 8,

T1 = gyök(T0^2/8) = T0/gyök(8),

a zuhanási idő pedig ennek a fele lesz,

t = T0/(4*gyök(2)) = gyök(2)/8 év kb. 64,5 nap.

Egész jó közelítéssel (a Földet továbbra is pontszerűnek tekintve):

A Föld egy egyenes mentén fog mozogni, és az ismert, gravitációs potenciálban. Ilyenkor van egy képlet, ami megadja, hogy mennyi idő neki eljutni egyik helyről a másikra:

[link]

t = int(1/gyök(2*(E – U(x))/m), x = x0..x1) = –int(1/gyök(2*γ*M*(1/x – 1/a)), x = a .. (R + r)) kb. 64,8 nap,

a = 150 millió km-rel számolva.

(Persze ez is csak közelítés, mert van napszél meg közegellenállás meg Elon Musk is lövöldözget rakétákkal, ami befolyásolja a Föld lendületét, de ez szinte mind kisebb hibát okoz, mint amennyire pontosan a távolságokat, sugarakat meg tudjuk mérni.)

Ilyen nagy tavolsagokban már nem konstans a g, tehát nem elhanyagolható a változása. Ezert a föld gyorsulása növekedik annak függvényében, hogy milyen közel jár már a naphoz. Ezt egy másodrendű másodfokú differencialegyenlet írja le. Sajnos ezt nem lehet analitikusan megoldani, tehát számítógéppel az euler módszerrel közelítheto a megoldás. (Idő)

A becsapódási sebesség kiszámolható egy egyszerűbb integrallal. Most nincs előttem minden adat, föld tömege, nap tömege stb.. de ezekből már ki tudod számolni.

Ha nem menne később leírom a számolás menetét szívesen.

A második válaszoló már elég jó választ adott, akkor már tárgyalan.

Előző voltam.

Nyeh…

Egy kicsit én is összekutyultam a dolgokat. A sebességnél a Wolframalpha szerinti Föld–Nap távolságot helyettesítettem, ami jó eséllyel a pillanatnyi, a második képlet akkor helyes elvileg, ha a Föld akkor áll meg, amikor a távolsága a Naptól a pályájának fél nagytengelye, a harmadikba pedig csak hasra ütésre beírtam egy távolságot.

Szóval ha a távolság, ahonnan zuhanni kezd a Föld az éppen fél nagytengelynyi, akkor a Wikipédiáról vett adatokkal:

v = 613,5 km/s;

a második képlet t-re 64,57 napot ad,

a harmadik pedig 64,55 napot.

De például naptávolból zuhanásra 66,18 nap jön ki, napközelből történőre pedig 62,94 nap. (A sebességnek csak az 5. értékes jegyét befolyásolja, hogy 152 vagy 147 millió kilométer. És ugye ezekre a második képlet nem érvényes.)